В алгебраические дроби являются дробно-алгебраическими выражениями, у которых есть по крайней мере одно неизвестное в знаменателе. Часто есть множители, которые появляются как в числителе, так и в знаменателе этих дробей, что оставляет возможность их упрощения. Многие игнорируют то, что есть некоторые правила, которые изучаются с самого начала начальной школы, которые направляют этот процесс упрощения. Следовательно, любой упрощение у того, кто нарушает эти правила, есть большой шанс ошибиться. Поэтому ниже мы перечисляем три наиболее частые ошибки при упрощении алгебраических дробей и правильный способ выполнения этих процедур.
Прежде чем продолжить, рекомендуем прочитать статью Упрощение алгебраической дроби для тех, у кого остались вопросы по этому поводу.
1 - Вырезать элементы равно в числителе и знаменателе
Это самая частая ошибка. В начале обучения ученики хотят «вырезать» все одинаковые элементы в числителе и знаменателе алгебраическая дробь. Однако это не равнозначные элементы, которые нужно «вырезать», но, да, факторы равно.
Правило таково: Если там есть равные факторы в числителе и знаменателе эти множители можно сократить. Помните: разделение между ними будет 1, что не влияет на деление или умножение. Поскольку эти факторы просто исчезают, этот процесс получил название «резка». Также помните, что числа при умножении называются множителями.
Добавляемые или вычитаемые элементы ты не можешь быть вырезанным, потому что его деление не приводит к 1. Таким образом, взяв пример ниже, который включает в себя сумму, мы увидим правильный и неправильный способ выполнения упрощение.
Пример: Упростить следующую алгебраическую дробь.
4x + 4 года
х + у
Неверно:
4Икс + 4у = 4 + 4 = 8
Икс + у
Обратите внимание, что отсеченные неизвестные числа (выделенные красным) не являются факторами умножения, а скорее частями сложения. Следовательно, сделанный выше разрез неправильный.
Верно:
4x + 4 года
х + у
делая процесс полиномиальная факторизация по общему фактору у нас будет:
4(х + у) = 4
х + у
В числителе алгебраической дроби находим умножение, в котором множители равны 4 и x + y. В знаменателе находим только x + y. Обратите внимание, что x + y является фактором, поскольку он не добавляется или не вычитается никаким другим числом или неизвестными. Для лучшего обзора просто заключите круглые скобки:
4(х + у) = 4
(х + у)
Если бы вместо x + y в знаменателе стояла только цифра 4, можно было бы также упростить, сократив только цифру 4.
А теперь посмотрим на случай, когда не могло быть упрощение:
4(х + у)
х + у + k
* k - любое число, неизвестное или одночленное.
2 - Факторизация полного квадратного трехчлена с использованием процесса общего множителя в доказательстве
Почти всякий раз, когда многочлен в алгебраическая дробь, это должно быть учтено. После этого факторы, присутствующие в числителе и знаменателе, необходимо сравнить в поисках тех, которые могут быть упрощенный (другое слово для «вырезать»).
Что происходит, так это то, что студенты сталкиваются с полный квадрат трехчлена и забудьте, что это результат замечательный продукт, просто вернувшись к этому продукту, чтобы выполнить факторизация. Таким образом, делается попытка выявить общие факторы.
Люди, которые предпринимают такие попытки, часто совершают указанную выше ошибку.
Обратите внимание на следующий пример, который также показывает правильную форму и наиболее частую неправильную форму разрешения.
Пример: Упростить следующую алгебраическую дробь.
4x2 + 8xy + 4y2
х + у
Неверно:
4x2 + 8xy + 4y2
х + у
4 (х2 + 2xy + y2)
х + у
или же
4 (х + 2у) + 4у2
х + у
Обратите внимание, что это невозможно даже упростить именно потому, что процесс факторинга не был проведен должным образом.
Верно:
4x2 + 8xy + 4y2
х + у
(2x + 2г)2
х + у
(2x + 2y) (2x + 2г)
х + у
На этом этапе обратите внимание, что число 2 является общим для всех элементов двух множителей числителя. В этой ситуации необходимо учитывать фактор, общий для двух факторов. В результате мы получим:
2 · (х + у) · 2 · (х + у)
х + у
2 · 2 · (х + у) (х + у)
х + у
4 · (х + у) (х + у)
х + у
Теперь да, мы можем сократить множитель, который повторяется как в числителе, так и в знаменателе.
4 · (х + у)(Икс + у)= 4 · (х + у)
х + у
3 - Путать замечательные продукты
Обратите внимание на список примечательных продуктов ниже, который включает квадраты или произведение суммы на разницу.
(х + у)2 = х2 + 2xy + y2
(х - у)2 = х2 –2xy + y2
(х + у) (х - у) = х2 - у2
Каждый раз, когда многочлен принимает форму трехчлена полного квадрата или разности двух квадратов - находится в правая часть приведенных выше равенств -, их можно заменить замечательным продуктом, который их породил (левая часть соответствующий).
В упрощение алгебраических дробей, забвение того, что замечательное произведение соответствует идеальному квадрату трехчлена, является очень повторяющейся ошибкой, особенно когда дело доходит до разница в два квадрата. Когда он появляется, обычно думают, что он уже учтен или что показатель степени 2 может быть использован «в качестве доказательства» (и, конечно, это невозможно сделать).
Обратите внимание на следующий пример с двумя квадратами разницы:
Пример: упростите следующую алгебраическую дробь.
4x2 - 4 года2
х + у
Верный:
Помните, что числитель представляет собой разность в два квадрата и может быть заменен на:
(2x - 2 года) (2x + 2y)
х + у
Упрощение будет сделано путем помещения 2 в доказательство еще раз в два фактора.
2 · (х - у) · 2 · (х + у)
х + у
2 · 2 · (х - у) · (Х + у)
х + у
4 · (х - у)·(х + у) = 4 · (х - у)
х + у
Обратите внимание, что в разности двух квадратов в одном из множителей происходит сложение, а в другом - вычитание.
Неправильно:
Используйте один из двух других замечательных кейсов продукта:
4x2 - 4 года2
х + у
(2x + 2г) (2x + 2y)
х + у
Или «приведите показатель степени 2 в доказательство»:
4x2 - 4 года2
х + у
4 (х - у)2
х + у
Чтобы избежать этих двух последних ошибок, предлагаем прочитать текст сумма квадрата, Общий фактор в доказательствах а также Потенцирование.
Хорошая учеба!
Луис Пауло Морейра
Окончил математику
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tres-erros-comuns-na-simplificacao-fracao-algebrica.htm