Практикуйте свои знания о линейных системах, важной математической теме, которая включает изучение одновременных уравнений. Во многих практических приложениях они используются для решения задач, связанных с различными переменными.
Все вопросы решаются поэтапно, где мы будем использовать разные методы, такие как: подстановка, добавление, исключение, масштабирование и правило Крамера.
Вопрос 1 (метод замены)
Определите упорядоченную пару, которая решает следующую систему линейных уравнений.
Ответ:
Выделение x в первом уравнении:
Подставляя x во второе уравнение:
Подставляя значение y в первое уравнение.
Итак, упорядоченная пара, решающая систему:
Вопрос 2 (метод масштабирования)
Решение следующей системы линейных уравнений:
Ответ: х = 5, у = 1, г = 2
Система уже находится в эшелонированной форме. Третье уравнение имеет два нулевых коэффициента (y = 0 и x = 0), второе уравнение имеет нулевой коэффициент (x = 0), а третье уравнение не имеет нулевых коэффициентов.
В ступенчатой системе решаем «снизу вверх», то есть начинаем с третьего уравнения.
Переходя к верхнему уравнению, мы подставляем z = 2.
Наконец, мы подставляем z = 2 и y = 1 в первое уравнение, чтобы получить x.
Решение
х = 5, у = 1, г = 2
Вопрос 3 (правило или метод Крамера)
Решите следующую систему линейных уравнений:
Ответ: х = 4, у = 0.
Используя правило Крамера.
Шаг 1: определить определители D, Dx и Dy.
Матрица коэффициентов:
Его определитель:
Д = 1. 1 - 2. (-1)
Д = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3
Для расчета Dx мы заменяем столбец терминов x столбцом независимых терминов.
Дх = 4. 1 - 8. (-1)
Дх = 4 + 8 = 12
Для вычисления Dy мы заменяем члены у независимыми членами.
Дай = 1. 8 - 2. 4
Ды = 8 - 8
Дай = 0
шаг 2: определить x и y.
Для определения х делаем:
Чтобы определить у, мы делаем:
вопрос 4
Продавец футболок и кепок на спортивном мероприятии продал 3 футболки и 2 кепки, собрав в общей сложности 220 реалов. На следующий день он продал 2 рубашки и 3 кепки, заработав 190 реалов. Какова будет цена футболки и цена шляпы?
а) Футболка: 60 бразильских реалов | Кепка: 40 бразильских реалов.
б) Футболка: 40 бразильских реалов | Кепка: 60 бразильских реалов.
в) Футболка: 56 реалов | Кепка: 26,00 бразильских реалов
г) футболка: 50 бразильских реалов | Кепка: 70 бразильских реалов.
e) Футболка: 80,00 бразильских реалов | Кепка: 30 бразильских реалов
Обозначим цену футболок c и цену головных уборов b.
На первый день имеем:
3с + 2б = 220
На второй день имеем:
2с + 3б = 190
Составим два уравнения с двумя неизвестными в каждом, c и b. Итак, у нас есть система линейных уравнений 2x2.
Разрешение
Используя правило Крамера:
1-й шаг: определитель матрицы коэффициентов.
2-й шаг: определитель Dc.
Заменим столбец c матрицей независимых членов.
3-й шаг: определитель Db.
4-й шаг: определить значение c и b.
Ответ:
Цена футболки составляет 56 реалов, а кепки — 26 реалов.
вопрос 5
Кинотеатр взимает 10 реалов за билет для взрослых и 6 реалов за билет для детей. За один день было продано 80 билетов, а общая сумма сбора составила 700 реалов. Сколько билетов каждого типа было продано?
а) Взрослые: 75 | Дети: 25
б) Взрослые: 40 | Дети: 40
в) Взрослые: 65 | Дети: 25
г) Взрослые: 30 | Дети: 50
д) Взрослые: 25 | Дети: 75
Мы назовем его как стоимость билетов для взрослых и ж для детей.
По отношению к общему количеству билетов имеем:
а + с = 80
Относительно полученного значения имеем:
10а + 6с = 700
Составим систему линейных уравнений с двумя уравнениями и двумя неизвестными, то есть систему 2х2.
Разрешение
Мы будем использовать метод замены.
Выделение a в первом уравнении:
а = 80 - с
Подставляя во второе уравнение:
10.(80 - в) + 6в = 700
800 -10с + 6с = 700
800 - 700 = 10с - 6с
100 = 4с
с = 100/4
с = 25
Подставляя c во второе уравнение:
6а + 10с = 700
6а+10. 25 = 700
6 лет + 250 = 700
6а = 700 - 250
6а = 450
а = 450/6
а = 75
вопрос 6
В магазине продаются футболки, шорты и обувь. В первый день было продано 2 футболки, 3 шорты и 4 пары обуви на общую сумму 350 реалов. На второй день было продано 3 футболки, 2 шорты и 1 пара обуви на общую сумму 200 реалов. На третий день были проданы 1 футболка, 4 шорты и 2 пары обуви на общую сумму 320 реалов. Сколько будет стоить футболка, шорты и пара туфель?
а) Футболка: 56,00 бразильских реалов | Бермуды: 24,00 реалов | Обувь: 74 реалов.
б) Футболка: 40 бразильских реалов | Бермуды: 50 реалов | Обувь: 70 бразильских реалов.
в) Футболка: 16,00 бразильских реалов | Бермуды: 58,00 реалов | Обувь: 36 реалов.
г) Футболка: 80,00 бразильских реалов | Бермуды: 50 реалов | Обувь: 40 бразильских реалов.
e) Футболка: 12,00 бразильских реалов | Бермуды: 26,00 реалов | Обувь: 56 реалов.
- c – цена рубашек;
- b — цена шорт;
- s - цена обуви.
На первый день:
2с + 3б + 4с = 350
На второй день:
3с + 2б + с = 200
На третий день:
с + 4б + 2с = 320
У нас есть три уравнения и три неизвестных, образующих систему линейных уравнений 3x3.
Используя правило Крамера.
Матрица коэффициентов
Его определитель равен D = 25.
Матрица столбцов ответов:
Чтобы вычислить Dc, мы заменяем столбец матрицы ответов первым столбцом в матрице коэффициентов.
постоянный ток = 400
Для расчета Дб:
Дб = 1450
Для расчета Ds:
Дс = 900
Чтобы определить c, b и s, разделим определители Dc, Db и Ds на главный определитель D.
вопрос 7
Ресторан предлагает три варианта блюд: мясо, салат и пиццу. В первый день было продано 40 мясных блюд, 30 салатных блюд и 10 пицц на общую сумму 700 реалов. На второй день было продано 20 мясных блюд, 40 салатных блюд и 30 пицц на общую сумму 600 реалов. На третий день было продано 10 мясных блюд, 20 салатных блюд и 40 пицц на общую сумму 500 реалов. Сколько будет стоить каждое блюдо?
а) мясо: 200,00 бразильских реалов | салат: 15 реалов | пицца: 10 бразильских реалов
б) мясо: 150 реалов, салат: 10 реалов | пицца: 60 бразильских реалов
в) мясо: 100,00 бразильских реалов | салат: 15 реалов | пицца: 70 бразильских реалов
г) мясо: 200,00 бразильских реалов | салат: 10 реалов | пицца: 15 бразильских реалов
д) мясо: 140,00 бразильских реалов | салат: 20 реалов | пицца: 80 бразильских реалов
С использованием:
- в для мяса;
- с для салата;
- р для пиццы.
В первый день:
Во второй день:
На третий день:
Цену каждого блюда можно получить, решив систему:
Разрешение
Использование метода исключения.
Умножьте 20с + 40с + 30р = 6000 на 2.
Вычтите второе матричное уравнение, полученное из первого.
В приведенной выше матрице мы заменяем это уравнение вторым.
Умножаем третье уравнение выше на 4.
Вычитая из первого уравнения третье, получаем:
Подставив полученное уравнение в третье.
Вычитая уравнения два и три, мы имеем:
Из третьего уравнения получаем p = 80.
Подставляя p во второе уравнение:
50 с + 50,80 = 5000
50 с + 4000 = 5000
50 с = 1000
с = 1000/50 = 20
Подставляя значения s и p в первое уравнение:
40с + 30,20 + 10,80 = 7000
40с + 600 + 800 = 7000
40с = 7000 - 600 - 800
40с = 5600
с = 5600 / 40 = 140
Решение
р=80, с=20 и с=140
вопрос 8
(УЭМГ) В плане система представляет собой пару строк
а) совпадение.
б) отдельные и параллельные.
в) совпадающие прямые в точке ( 1, -4/3 )
г) совпадающие прямые в точке ( 5/3, -16/9 )
Умножение первого уравнения на два и сложение двух уравнений:
Подставляя x в уравнение A:
вопрос 9
(PUC-MINAS) Некая лаборатория отправила 108 заказов в аптеки A, B и C. Известно, что количество заказов, отправленных в аптеку Б, вдвое превышало общее количество заказов, отправленных в две другие аптеки. Кроме того, в аптеку С было отправлено три заказа на сумму более половины от суммы, отгруженной в аптеку А.
На основании этой информации ПРАВИЛЬНО заявить, что общее количество заказов, отправленных в аптеки B и C, составило
а) 36
б) 54
в) 86
г) 94
По заявлению имеем:
А + В + С = 108.
Кроме того, количество B было в два раза больше, чем количество A + C.
В = 2 (А + С)
Три заказа были отправлены в аптеку С, более половины количества отправлено в аптеку А.
С = А/2 + 3
У нас есть уравнения и три неизвестных.
Использование метода замещения.
Шаг 1: замените третье на второе.
Шаг 2: Подставляем полученный результат и третье уравнение в первое.
Шаг 3: Подставьте значение A, чтобы определить значения B и C.
В = 3А + 6 = 3,22 + 6 = 72
Для С:
Шаг 4: добавьте значения B и C.
72 + 14 = 86
вопрос 10
(УФРГС 2019) Чтобы система линейных уравнений возможно и определено, необходимо и достаточно, чтобы
а) а € R.
б) а = 2.
в) а = 1.
г) а ≠ 1.
в) а ≠ 2.
Один из способов классифицировать систему как возможную и детерминированную — использовать метод Крамера.
Условием этого является то, что определители отличны от нуля.
Приравняв к нулю определитель D основной матрицы:
Чтобы узнать больше о линейных системах:
- Линейные системы: что это такое, виды и как решить
- Системы уравнений
- Масштабирование линейных систем
- Правило Крамера
Дополнительные упражнения:
- Системы уравнений 1-й степени
АСТ, Рафаэль. Упражнения на решаемые линейные системы.Все дело, [без даты]. Доступно в: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Доступ по адресу:
См. также
- Линейные системы
- Масштабирование линейных систем
- Системы уравнений
- 11 упражнений на умножение матриц
- Уравнение второй степени
- Упражнения на неравенство
- 27 упражнений по базовой математике
- Правило Крамера
