А касательная (сокращенно tg или tan) представляет собой тригонометрическая функция. Для определения тангенса угла можно использовать разные стратегии: вычислить отношение между синусом и косинусом угла, если они известны; используйте таблицу касательных или калькулятор; вычислить отношение противолежащего катета к прилежащему, если рассматриваемый угол является внутренним (острым) прямоугольного треугольника, в том числе.
Читайте также: Для чего используется тригонометрический круг?
резюме по касательной
Тангенс — это тригонометрическая функция.
Тангенс внутреннего угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Тангенс любого угла есть отношение синуса и косинуса этого угла.
Функция \(f(x)=tg\x\) определяется для углов Икс выражается в радианах, так что cos \(cos\ х≠0\).
На графике функции тангенса показаны вертикальные асимптоты для значений, где \ (х = \ гидроразрыва {π} 2 + kπ \), с к целый, как \ (х = - \ гидроразрыва {π} 2 \).
Закон касательных — это выражение, которое связывает в любом треугольнике касательные двух углов и стороны, противолежащие этим углам.
Тангенс угла
Если α один угол внутренняя часть прямоугольный треугольник, тангенс α представляет собой отношение длины противоположного катета к длине соседнего катета:
Для любого угла α тангенс представляет собой отношение между грехом α и косинусом α, где \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Следует отметить, что если α - угол в 1-й или 3-й четверти, тангенс будет иметь положительный знак; но если α - угол 2-й или 4-й четверти, тангенс будет иметь отрицательный знак. Это соотношение следует непосредственно из правила знаков между знаками синуса и косинуса для каждого α.
Важный: Обратите внимание, что тангенс не существует для значений α, где \(cos\ α=0\). Это происходит для углов 90°, 270°, 450°, 630° и так далее. Чтобы представить эти углы в общем виде, мы используем обозначение в радианах: \(\frac{π}2+kπ\), с к весь.
Тангенс заметных углов
Используя выражение \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), мы можем найти касательные замечательные углы, то есть углы 30°, 45° и 60°:
\(tg\ 30 ° = \ frac {sin \ 30 °} {cos \ 30 °} = \ frac {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ sqrt3} {2}} = \ frac {1} {\ sqrt3} = \ frac {\ sqrt3} {3} \)
\(tg\ 45 ° = \ frac {sin \ 45 °} {cos \ 45 °} = \ frac {\ frac {\ sqrt2} {2}} {\ frac {\ sqrt2} {2}} = 1 \)
\(tg\ 60 ° = \ frac {sin \ 60 °} {cos \ 60 °} = \ frac {\ frac {\ sqrt3} {2}} {\ frac {1} 2} = \ sqrt3 \)
Интересный: В дополнение к ним мы можем анализировать значения тангенса для углов 0° и 90°, которые также широко используются. Поскольку sin 0° = 0, заключаем, что tan 0° = 0. Для угла 90°, поскольку cos90° = 0, тангенс не существует.
Как рассчитать тангенс?
Для вычисления тангенса воспользуемся формулой tg α=sin αcos α, используемой для вычисления тангенса любого угла. Давайте посмотрим на некоторые примеры ниже.
Пример 1
Найдите тангенс угла α в прямоугольном треугольнике ниже.
Разрешение:
Что касается угла α, сторона меры 6 является противоположной стороной, а сторона меры 8 является примыкающей стороной. Так:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
Пример 2
Знаю это \(sin\ 35°≈0,573\) и потому\(35°≈0,819\), найдите приблизительное значение касательной 35°.
Разрешение:
Так как тангенс угла есть отношение между синусом и косинусом этого угла, мы имеем:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
касательная функция
Функция fx=tg x определена для углов Икс выражается в радианах, так что \(cos\ х≠0\). Это означает, что область определения касательной функции выражается следующим образом:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Кроме того, все вещественные числа являются изображением касательной функции.
→ График касательной функции
Обратите внимание, что график функции тангенса имеет вертикальные асимптоты для значений, где \ (х = \ гидроразрыва {π} 2 + kπ \), с к целый, как \(х=-\фракция{π}2\). Для этих значений Икс, касательная не определена (то есть касательная не существует).
Смотрите также: Что такое домен, диапазон и изображение?
закон касательных
Закон касательных – это выражение, которое связывает, в треугольник любые, касательные двух углов и стороны, противолежащие этим углам. Например, рассмотрим углы α и β треугольника ABC ниже. Заметим, что сторона CB = a лежит против угла α, а сторона AC = b — против угла β.
Закон касательных гласит, что:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
тригонометрические соотношения
К тригонометрические соотношения — тригонометрические функции, работающие над прямоугольным треугольником. Мы интерпретируем эти отношения как отношения между сторонами и углами этого типа треугольника.
Решаемые упражнения на касательную
Вопрос 1
Пусть θ — угол второй четверти такой, что sin\(sin\ θ≈0,978\), поэтому tgθ приблизительно равно:
А) -4688
Б) 4688
В) 0,2086
Г) -0,2086
Д) 1
Разрешение
Альтернатива А
если \(sin\ θ≈0,978\), то, используя фундаментальное тождество тригонометрии:
\(грех^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)
Поскольку θ — угол второго квадранта, то cosθ отрицательно, следовательно:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
Скоро:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
вопрос 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AB = 3 см и AC = 4 см. Тангенс угла В равен:
А) \(\ гидроразрыва{3}4\)
Б) \(\фракция{3}5\)
Вт) \(\ гидроразрыва{4}3\)
Д) \(\ гидроразрыва{4}5\)
И) \(\фракция{5}3\)
Разрешение:
Альтернатива С
По утверждению катет, противолежащий углу \ (\ шляпа {B} \) АС размером 4 см и катет, примыкающий к углу \ (\ шляпа {B} \) это АВ размером 3 см. Так:
\(tg\шляпа{C}=\frac{4}3\)
Мария Луиза Алвес Риццо
Учитель математики