биссектриса и перпендикулярная линия на отрезок, пересекающий его середину. Мы можем построить серединный перпендикуляр к отрезку с помощью линейки и циркуля. На треугольник, биссектрисы — это прямые, перпендикулярные сторонам, содержащие их середины. Таким образом, треугольник имеет три перпендикулярные биссектрисы. Точка, в которой встречаются эти биссектрисы, называется центром описанной окружности и является центром окружности, описанной в треугольнике.
Читайте также: Расстояние между двумя точками — кратчайший путь между двумя точками на декартовой плоскости.
Резюме о серединном перпендикуляре
Биссектриса – это прямой перпендикулярно отрезку, проходящему через его середину.
Точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка.
Серединный перпендикуляр можно построить с помощью линейки и циркуля.
Уравнение серединного перпендикуляра можно определить, исходя из координат концов отрезка.
Треугольник имеет три перпендикулярные биссектрисы, по одной относительно каждой стороны.
Точка пересечения биссектрис треугольника называется центром описанной окружности. Эта точка является центром описанной окружности треугольника.
Биссектриса треугольника отличается от медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
Что такое медиатрикс?
Для отрезка биссектриса – это прямая, перпендикулярная сегмент который перехватывает ваш середина.
Важным следствием этого определения является то, что все точки серединного перпендикуляра находятся на одинаковом расстоянии от концов отрезка. В математической символике, если AB является отрезком, а точка P принадлежит биссектрисе, то PA = PB.
Как построить биссектрису?
Чтобы построить серединный перпендикуляр к отрезку, нам нужны только линейка и компас. Этапы строительства следующие:
Шаг 1: Дан отрезок AB, откройте компас на длину, превышающую половину отрезка. Подсказка: одна из возможностей — использовать длину самого сегмента.
Шаг 2: нарисовать один длина окружности с центром на одном конце сегмента и радиусом с размером, выбранным на шаге 1.
Шаг 3: Повторите шаг 2 для другого конца сегмента.
Шаг 4: Соедините точки пересечения окружностей линейкой.
Как найти уравнение биссектрисы?
Так как биссектриса является прямой линией, мы можем определить уравнение который описывает ваши точки, будучи р строка, содержащая отрезок АБ отданный, с биссектриса этого отрезка и п (х, у) любой точке серединного перпендикуляра.
Предположим, что координаты точек А Это Б известны, можно получить угловой коэффициент н прямой р. Как р Это с перпендикулярны, наклон м прямой с (перпендикуляр биссектрисы) также можно найти, так как он противоположен мультипликативному обратному н. Используя выражение для основного уравнения линии, \(у-у_0=м (х-х_0)\), На что \(М(х\_0,у\_0)\) это середина АБ, мы завершили уравнение биссектрисы.
Пример:
Определите уравнение биссектрисы отрезка, определяемого точками A(1,2) и B(3,6).
Разрешение:
Во-первых, давайте получим наклон н прямой р который содержит сегмент АБ:
\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)
Теперь ищем середину М отрезка АБ:
\(M(x_0,y_0)=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)
Помните, что биссектриса с разыскивается перпендикулярно линии р (который содержит сегмент АБ). Тогда угловой коэффициент м прямой с и угловой коэффициент н прямой р связаны следующим образом:
\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)
Поэтому, \( m_s=\frac{-1}2\).
Наконец, мы используем основное уравнение прямой, чтобы определить биссектрису s, линию, которая имеет наклон, равный \(-\фракция{1}2\) и проходит через точку (2,4):
\(y-y_0=m\cdot (x-x_0)\)
\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)
\(y=-\frac{1}2 x+5\)
биссектриса треугольника
Три стороны треугольника являются отрезками. Таким образом, термин «биссектриса треугольника» относится к биссектрисе одной из сторон этой геометрической фигуры. Поэтому, треугольникимеет три биссектрисы. См. ниже:
Точка, где встречаются биссектрисы треугольника, называется центром описанной окружности., поскольку это центр окружности, описанной в треугольнике (то есть окружности, проходящей через три вершины треугольника).
Важный:Поскольку центр описанной окружности является точкой, общей для трех серединных перпендикуляров, его расстояние от каждой из вершин одинаково. В математической символике, если Д является центром описанной окружности треугольника азбука, затем \(AD=BD=CD\).
Различия между биссектрисой, медианой, биссектрисой и высотой треугольника
Биссектриса, медиана, биссектриса и высота треугольника — разные понятия. Давайте посмотрим на каждого в отдельности, а затем вместе.
Биссектриса треугольника: это линия, перпендикулярная одной из сторон, которая пересекает его середину.
Медиана треугольника: отрезок с концами в вершине треугольника и в середине стороны, противоположной вершине.
Биссектриса треугольника: это отрезок, который делит пополам один из углы стороны треугольника с концами в одной из вершин и на противоположной стороне.
Высота треугольника: — отрезок, перпендикулярный одной из сторон, с концом под углом, противоположным стороне.
На следующем изображении мы выделяем относительно сегмента BC треугольника высоту (пунктирная линия оранжевого цвета), биссектриса (пунктирная линия фиолетового цвета), медиана (пунктирная линия зеленого цвета) и биссектриса (сплошная линия красный).
Важный: На равносторонний треугольник, то есть у которого три стороны и три угла равны, биссектрисы, медианы, биссектрисы и высоты совпадают. Следовательно, заметные точки треугольника (центр окружности, барицентр, инцентр и ортоцентр) также совпадают. На изображении ниже мы выделяем по отношению к отрезку BC биссектрису, медиану, биссектрису и высоту непрерывной черной линией. Таким образом, выделенная точка E является центром описанной окружности, барицентром, центром вписанной окружности и ортоцентром треугольника ABC.
Смотрите также: Метрические отношения вписанного равностороннего треугольника — какие они?
Решенные упражнения на биссектрису
Вопрос 1
Рассмотрите приведенные ниже утверждения.
я. Биссектриса треугольника — это отрезок, который начинается в вершине и пересекает середину противоположной стороны.
II. Точка, где встречаются биссектрисы треугольника, называется центром описанной окружности. Эта точка является центром окружности, описанной в треугольнике и равноудаленной от вершин.
III. Биссектриса отрезка — перпендикулярная прямая, пересекающая отрезок в середине.
Какая альтернатива содержит правильный(е) вариант(ы)?
А) только я.
Б) II, только.
В) III, только.
г) I и II.
Е) II и III.
Разрешение:
Альтернатива Е
Утверждение I единственно неверное, так как описывает медиану треугольника.
вопрос 2
(Энем — адаптировано) За последние годы телевидение претерпело настоящую революцию в плане качества изображения, звука и интерактивности со зрителем. Это преобразование связано с преобразованием аналогового сигнала в цифровой сигнал. Однако во многих городах до сих пор нет этой новой технологии. Стремясь принести эти преимущества трем городам, телевизионная станция намерена построить новую передающую башню, которая посылает сигнал на антенны A, B и C, уже существующие в этих городах. Расположение антенн представлено в декартовой плоскости:
Вышка должна быть расположена на равном расстоянии от трех антенн. Подходящее место для строительства этой башни соответствует точке координат
А) (65, 35).
Б) (53, 30).
В) (45, 35).
Г) (50, 20).
Д) (50, 30).
Разрешение:
Альтернатива Е
Обратите внимание, что место для башни должно быть центром описанной окружности треугольника, образованного точками A, B и C, так как это равноудаленное расположение трех антенн.
Координаты Т-башни:\((x_t, y_t)\). Так как T принадлежит биссектрисе AB (заданной линией x = 50), горизонтальное расположение башни должно быть \(x_t=50\).
Для определения горизонтальной координаты \(у_т\) башни, мы можем использовать выражение для расстояния между двумя точками дважды. Поскольку башня равноудалена, например, от вершин A и C (AT = CT), имеем:
\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t)^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t)^2}\)
Упрощая, получаем \(y_t=30\).
Мария Луиза Алвес Риццо
Учитель математики
