Транспонированная матрица: что это такое, свойства, примеры

THE транспонированная матрица матрицы M - это матрица M^т. это о штаб-квартира что мы собираемся получить когда мы переписываем матрицу M, меняя положение строк и столбцов, превращая первую строку M в первый столбец M^т, вторая строка матрицы M во втором столбце матрицы M^т, и так далее.

Если матрица M имеет м линии и нет столбцов, его транспонированная матрица, т. е. M^т, будет нет линии и м столбцы. У транспонированной матрицы есть определенные свойства.

Читайте тоже: Что такое треугольная матрица?

Как получается транспонированная матрица?

Для матрицы A_mxn, мы знаем как матрицу, транспонированную из A в матрицу A^т_{п х м}. Чтобы найти транспонированную матрицу, просто измените положение строк и столбцов матрицы A. Независимо от того, что первая строка матрицы A будет первым столбцом транспонированной матрицы A^т, вторая строка матрицы A будет вторым столбцом матрицы A^т, и так далее.

Алгебраически пусть M = (m_ij)_mxn, транспонированная матрица M есть M^т = (м_джи) _{п х м}.

Пример:

Найдите матрицу, транспонированную из матрицы:

instagram story viewer

Матрица M представляет собой матрицу 3x5, поэтому ее транспонирование будет 5x3. Чтобы найти транспонированную матрицу, сделаем первую строку матрицы M первым столбцом матрицы M^т.

Вторая строка матрицы M будет вторым столбцом транспонированной матрицы:

Наконец, третья строка матрицы M станет третьим столбцом матрицы M.^т:

симметричная матрица

Основываясь на концепции транспонированной матрицы, можно определить, что такое симметричная матрица. Матрица называется симметричной когда он равен вашей транспонированной матрице, то есть для матрицы M имеем M = M^т.

Чтобы это случилось, матрица должна быть квадратной, что означает, что для того, чтобы матрица была симметричной, количество строк должно быть равно количеству столбцов.

Пример:

Когда мы анализируем члены над главной диагональю и члены под главной диагональю матрицы S можно увидеть, что существуют члены, которые они одинаковые, что делает его симметричным именно из-за симметрии матрицы относительно главной диагонали.

Если мы найдем транспонирование матрицы S, можно увидеть, что S^т равно S.

Поскольку S = S^т, эта матрица является симметричной.

Смотрите также: Как решать линейные системы?

Свойства транспонированной матрицы

1-й объект: транспонирование транспонированной матрицы равно самой матрице:

(M^т)^т = M

2-е свойство: транспонированная сумма между матрицами равна сумме транспонированной каждой из матриц:

(M + N)^т = M^т+ N^т

3-е свойство: перенос умножение между двумя матрицами равно умножению транспонированной каждой из матриц:

(M · N)^т = M^т · N^т

4-й объект: О детерминант матрицы равна определителю транспонированной матрицы:

det (M) = det (M^т)

5-е свойство: матрица, умноженная на константу, равна транспонированной матрице, умноженной на константу:

(кА)^т = кА^т

Обратная матрица

Концепция обратной матрицы сильно отличается от концепции транспонированной матрицы, и важно подчеркнуть разницу между ними. Обратной матрицей к матрице M является матрица M^-1, где произведение матриц M и M^-1 равна единичной матрице.

Пример:

Чтобы узнать больше об этом типе матрицы, прочтите наш текст: Обратная матрица.

противоположная матрица

Являясь еще одним случаем специальной матрицы, матрица, противоположная матрице M, является матрицей -M. Мы знаем как противоположную матрицу M = (m_ij) матрица -M = (-m_ij). Противоположная матрица состоит из противоположных членов матрицы M.