Исследование с решенными упражнениями на синус, косинус и тангенс. Практикуйтесь и развейте свои сомнения с помощью прокомментированных упражнений.
Вопрос 1
Определите значения x и y в следующем треугольнике. Рассмотрим sin 37° = 0,60, косинус 37° = 0,79 и tan 37° = 0,75.
Ответ: у = 10,2 м и х = 13,43 м.
Чтобы определить y, мы используем синус 37º, который представляет собой отношение противолежащего катета к гипотенузе. Стоит помнить, что гипотенуза – это отрезок, противоположный углу 90º, поэтому она равна 17 м.
Чтобы определить x, мы можем использовать косинус 37º, который представляет собой отношение между стороной, примыкающей к углу 37º, и гипотенузой.
вопрос 2
В следующем прямоугольном треугольнике определите величину угла , в градусах, а также его синус, косинус и тангенс.
Рассмотреть возможность:
sin 28º = 0,47
cos 28º = 0,88
Отвечать: ,
В треугольнике сумма внутренних углов равна 180°. Поскольку треугольник прямоугольный, угол равен 90º, поэтому для двух углов осталось еще по 90º.
Таким образом, мы имеем:
Так как эти углы дополняют друг друга (от одного из них до другого осталось 90º), то справедливо, что:
cos 62º = sin 28º = 0,47
а также
sin 62º = cos 28º = 0,88
Расчет касательной
Тангенс - это отношение синуса к косинусу.
вопрос 3
В определенное время солнечного дня тень дома проецируется на 23 метра. Этот остаток составляет 45º по отношению к земле. Таким способом определяют высоту дома.
Ответ: Высота дома 23 м.
Для определения высоты, зная угол наклона, используем тангенс угла 45°.
Тангенс 45° равен 1.
Дом и тень на земле — стороны прямоугольного треугольника.
Таким образом, высота дома составляет 23 м.
вопрос 4
Геодезист — это профессионал, который использует математические и геометрические знания для проведения измерений и изучения поверхности. Использование теодолита, инструмента, который, помимо прочего, измеряет углы, расположенного на высоте 37 метров. вдали от здания он нашел угол 60° между плоскостью, параллельной земле, и высотой строительство. Если теодолит стоял на треноге в 180 см от земли, определите высоту здания в метрах.
рассмотреть возможность
Ответ: Высота здания 65,81 м.
Делаем набросок ситуации имеем:
Таким образом, высоту здания можно определить по касательной 60º от высоты, на которой находится теодолит, добавив к результату 180 см или 1,8 м, так как это высота здания от земли.
Тангенс 60° равен .
Высота от теодолита
Общая высота
64,01 + 1,8 = 65,81 м
Высота здания 65,81 м.
вопрос 5
Определить периметр пятиугольника.
Рассмотреть возможность:
sin 67° = 0,92
косинус 67° = 0,39
тангенс 67° = 2,35
Ответ: периметр равен 219,1 м.
Периметр - это сумма сторон пятиугольника. Так как есть прямоугольная часть размером 80 м, то и противоположная сторона имеет длину 80 м.
Периметр определяется:
Р = 10 + 80 + 80 + а + б
Р = 170 + а + б
Существование , параллельно синей пунктирной линии, мы можем определить ее длину, используя касательную 67°.
Чтобы определить значение b, мы используем косинус 67 °
Итак, периметр равен:
Р = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 м
вопрос 6
Найдите синус и косинус угла 1110°.
Рассматривая тригонометрический круг, мы имеем, что полный оборот составляет 360°.
Когда мы делим 1110° на 360°, получаем 3,0833.... Это означает 3 полных оборота и немного больше.
Взяв 360° x 3 = 1080° и вычтя из 1110, мы получим:
1110° - 1080° = 30°
Считая направление против часовой стрелки положительным, после трех полных оборотов мы возвращаемся к началу, 1080° или 0°. От этой точки продвигаемся еще на 30°.
Таким образом, синус и косинус 1110° равны синусу и косинусу 30°.
вопрос 7
(CEDERJ 2021) Готовясь к тригонометрическому тесту, Джулия узнала, что sin² 72° равен
1 - cos² 72°.
cos² 72° - 1.
tg² 72° - 1.
1 - tg² 72º.
Фундаментальное соотношение тригонометрии гласит, что:
Где х - значение угла.
Принимая x = 72º и выделяя синус, мы имеем:
вопрос 8
Пандусы — хороший способ обеспечить доступность для инвалидов-колясочников и людей с ограниченной подвижностью. Доступ к зданиям, мебели, помещениям и городскому оборудованию гарантируется законом.
Бразильская ассоциация технических норм (ABNT) в соответствии с бразильским законом о включении лиц с Инвалидность (13,146/2015), регламентирует конструкцию и определяет уклон пандусов, а также расчеты для их строительство. Рекомендации по расчету ABNT указывают максимальный предел наклона 8,33% (соотношение 1:12). Это означает, что пандус для преодоления перепада в 1 м должен быть длиной не менее 12 м и это определяет, что угол наклона пандуса по отношению к горизонтальной плоскости не может быть больше, чем 7°.
По предыдущей информации, чтобы пандус длиной 14 м и наклоном 7º в по отношению к плоскости, находится в пределах норм АБНТ, она должна служить для преодоления разрыва максимальной высотой
Использование: грех 7 = 0,12; cos 7º = 0,99 и тангенс 7º = 0,12.
а) 1,2 м.
б) 1,32 м.
в) 1,4 м.
г) 1,56 м.
д) 1,68 м.
Пандус образует прямоугольный треугольник длиной 14 м, образующий угол 7º по отношению к горизонтали, где высота — это сторона, противоположная углу.
Используя синус 7°:
Высота, которой должен достигать пандус, составляет 1,68 м.
вопрос 9
(Unesp 2012) Здание больницы строится на наклонной местности. Для оптимизации строительства ответственный архитектор спроектировал парковку в цокольном этаже здания с входом с задней улицы участка. Приемная больницы находится на высоте 5 метров над уровнем парковки, что требует строительства прямого пандуса для пациентов с ограниченными физическими возможностями. На рисунке схематически показан этот пандус (r), соединяющий точку A на этаже стойки регистрации с точкой B на этаже парковки, который должен иметь минимальный наклон α 30º и максимальный 45º.
В этих условиях и с учетом Какими должны быть максимальное и минимальное значения в метрах длины этого пандуса?
Ответ: Длина пандуса будет составлять минимум 7 м и максимум 10 м.
В проекте уже предусмотрена и установлена высота 5 м. Нам нужно рассчитать длину ската, который является гипотенузой прямоугольного треугольника, для углов 30° и 45°.
Для расчета мы использовали синус угла, являющийся отношением между противоположной стороной, 5 м, и гипотенузой r, которая является длиной пандуса.
Для заметных углов 30° и 45° значения синусов:
на 30°
до 45°
рационализация
Подставляя значение
вопрос 10
(EPCAR 2020) Ночью вертолет ВВС Бразилии пролетает над плоской местностью и замечает БПЛА (Air Vehicle Беспилотный) круглой формы и незначительной высоты, радиусом 3 м, припаркованный параллельно земле на расстоянии 30 м от высота.
БПЛА находится на расстоянии y метров от установленного на вертолете прожектора.
Луч света от прожектора, проходящий мимо БПЛА, падает на плоскую область и создает круглую тень с центром O и радиусом R.
Радиус R окружности тени образует угол 60º со световым лучом, как показано на следующем рисунке.
В этот момент человек, находящийся в точке А на окружности тени, бежит в точку О в футе от перпендикуляра, проведенного из прожектора в плоскую область.
Расстояние в метрах, которое этот человек проходит от А до О, представляет собой число между
а) 18 и 19
б) 19 и 20
в) 20 и 21
г) 22 и 23
задача
Определяем длину сегмента , радиус окружности тени.
Данные
- Высота от О до БПЛА 30 м.
- Радиус действия БПЛА составляет 3 м.
Используя тангенс 60 °, мы определяем часть, выделенную красным цветом на следующем изображении:
Учитывая тангенс 60 ° = а тангенс представляет собой отношение стороны, противоположной углу, к прилежащей к нему стороне, имеем:
рационализация
Длина АО
приближается к значению
Приблизительный размер сегмента АО составляет 20,3 м, то есть значение между 20 и 21.
Также учитесь с:
- Синус, косинус и тангенс
- Упражнения по тригонометрии в прямоугольном треугольнике
- Упражнения по тригонометрии
- Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
- Тригонометрия
- тригонометрические тождества
- Упражнения на тригонометрические соотношения
- Метрические отношения в прямоугольном треугольнике
- Тригонометрические отношения
- углы
- Тригонометрические отношения
- тригонометрическая таблица
- Тригонометрические функции
- Тригонометрический круг
- Закон синусов
- Закон косинусов