О Треугольник Паскаля это довольно старый математический инструмент. На протяжении всей истории он получил несколько названий, но наиболее распространенными сегодня являются арифметический треугольник и треугольник Паскаля. Второе название - дань уважения математику, внесшему несколько вкладов в изучение этого треугольника. означает, что треугольник был изобретен им, но именно он провел более глубокое изучение этого орудие труда.
Из свойств треугольника Паскаля можно построить его логически. Также выделяется ваш отношения с комбинации изучал комбинаторный анализ. Члены треугольника Паскаля также соответствуют биномиальным коэффициентам и, следовательно, очень полезны для вычисления любого бинома Ньютона.
Читайте тоже: Устройство Брио-Руффини - метод деления многочленов
Построение треугольника Паскаля
Треугольник Паскаля получается в результате комбинацийОднако есть практический метод, облегчающий его создание. Первая строка и первый столбец считаются как нулевая строка и нулевой столбец. Мы можем использовать столько строк, сколько нужно
в этой конструкции треугольник может иметь бесконечные прямые. Причина проработки линий всегда одна и та же. Смотреть:
Мы знаем это термины треугольника - это комбинации, учился в комбинаторный анализ. Чтобы заменить треугольник Паскаля числовыми значениями, мы знаем, что комбинации числа с нулем и числа с самим собой всегда равны 1. Следовательно, первое и последнее значения всегда равны 1.
Чтобы найти остальные, мы начинаем со строки 2, так как строка 0 и строка 1 уже завершены. В строке 2, чтобы найти комбинацию 2 к 1, в строке выше, то есть в строке 1, давайте добавим термин над ним в том же столбце и термин над ним в предыдущем столбце, как показано на изображении. :
После построения строки 2 можно построить строку 3, выполнив ту же процедуру.
Продолжая эту процедуру, мы найдем все термины - в данном случае до строки 5 - но можно построить столько строк, сколько необходимо.
Свойства треугольника Паскаля
Есть некоторые свойства треугольника Паскаля, за счет регулярности его построения. Эти свойства полезны для работы с комбинациями, построения самих линий треугольника, а также суммы линий, столбцов и диагоналей.
1-й объект
Первое свойство мы использовали при построении треугольника. Итак, чтобы найти член в треугольнике Паскаля, просто добавьте термин, который находится в строке над ним, и тот же столбец с термином, который находится в столбце, и строку перед ним. Это свойство можно представить следующим образом:
Это свойство известно как Отношения Стифеля и важно облегчить построение треугольника и найти значения каждой из линий.
2-е свойство
Сумма всех терминов в строке рассчитывается по формуле:
sнет=2нет, На что нет это номер строки.
Примеры:
Благодаря этому свойству можно узнать сумма всех терминов в строке без необходимости построения треугольника Паскаля. Сумма строки 10, например, может быть вычислена как 210 = 1024. Хотя не все термины известны, уже можно узнать суммарное значение всей строки.
3-е свойство
Сумма терминов, которые следуют с начала данного столбца. для до определенной линии нет то же самое, что и термин в строке п +1 спинка и столбик р +1 позже, как показано ниже:
4-й объект
Сумма диагонали, которая начинается в столбце 0 и идет к члену в столбце p и строке n, равна члену в том же столбце (p), но в строке ниже (n + 1), как показано на изображении. :
5-е свойство
В линиях треугольника Паскаля есть симметрия. Первый и второй члены равны, второй и предпоследний члены равны и так далее.
Пример:
Строка 6: 1615 20 156 1.
Обратите внимание, что члены равны двум к двум, за исключением центрального члена.
Смотрите также: Деление полиномов: как решить?
Бином Ньютона
Определим бином Ньютона a сила одного многочлен в котором есть два условия. Вычисление бинома связано с треугольником Паскаля, который становится механизмом для вычисления того, что мы называем биномиальными коэффициентами. Для вычисления бинома мы используем следующую формулу:
Обратите внимание, что значение экспоненты В он уменьшается до тех пор, пока в последнем члене не станет равным В0. Мы знаем, что каждое число, возведенное в 0, равно 1, отсюда и термин В не появляется в последнем семестре. Также обратите внимание, что показатель степени B начинается с B0, скоро B не появляется в первом члене и увеличивается до достижения Bнет, в последнем семестре.
Кроме того, число, которое сопровождает каждый из терминов, мы называем коэффициентом, в данном случае известным как биномиальный коэффициент. Чтобы лучше понять, как решить этот тип бинома, откройте наш текст: Бином Ньютона.
биномиальный коэффициент
Биномиальный коэффициент - это не что иное, как комбинация, которую можно вычислить по формуле:
Однако, чтобы облегчить вычисление бинома Ньютона, необходимо использовать треугольник Паскаля, поскольку он дает нам результат комбинации быстрее.
Пример:
Чтобы найти результат биномиального коэффициента, давайте найдем значения строки 5 треугольника Паскаля, которые равны {1,5,10,10,5,1}.
(х + у)5= 1x5+ 5x4y + 10x3у2+ 10x2у3 + 5xy4+1 год5
Проще говоря:
(х + у)5= х5+ 5x4y + 10x3у2+ 10x2у3 + 5xy4+ y5
решенные упражнения
Вопрос 1 - Значение выражения ниже?
А) 8
Б) 16
В) 2
Г) 32
E) 24
разрешение
Альтернатива А.
Перегруппировывая положительные и отрицательные значения, мы должны:
Обратите внимание, что мы фактически вычисляем вычитание между строкой 4 и строкой 3 треугольника Паскаля. По собственности мы знаем, что:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Вопрос 2 - Каково значение приведенного ниже выражения?
А) 32
Б) 28
В) 256
Г) 24
E) 54
разрешение
Альтернатива Б.
Обратите внимание, что мы добавляем члены из столбца 1 треугольника Паскаля в строку 7, а затем в третью. свойство, значение этой суммы равно члену, занимающему строку 7 + 1 и столбец 1 + 1, то есть строку 8, столбец 2. Поскольку нам нужно только одно значение, построение всего треугольника Паскаля неудобно.
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm