Простые и сложные проценты - это расчеты, выполняемые для корректировки сумм, участвующих в транзакциях. финансовая, то есть корректировка, сделанная при кредитовании или инвестировании определенной суммы в течение периода время.
Выплаченная или выкупленная сумма будет зависеть от комиссии, взимаемой за транзакцию, и периода, в течение которого деньги будут заимствованы или инвестированы. Чем выше скорость и время, тем выше это значение.
Разница между простым и сложным процентами
В простых процентах поправка применяется к каждому периоду и учитывает только начальное значение. В сложных процентах корректировка производится на уже исправленные суммы.
Следовательно, сложные проценты также называют процентами по процентам, то есть сумма корректируется на сумму, которая уже была скорректирована.
Следовательно, для более длительных периодов инвестирования или ссуды корректировка на сложные проценты приведет к тому, что окончательная сумма, которая будет получена или выплачена, будет больше, чем сумма, полученная с простыми процентами.
В большинстве финансовых операций используются поправки по системе сложных процентов. Простой процент ограничен краткосрочными операциями.
Формула простого процента
Простой процент рассчитывается по следующей формуле:
Существование,
J: интерес
C: начальная стоимость транзакции, называемая капитальной финансовой математикой
i: процентная ставка (сумма, обычно выражаемая в процентах)
t: период транзакции
Мы также можем рассчитать общую сумму, которая будет погашена (в случае инвестиций), или сумму, подлежащую погашению (в случае кредита) в конце заранее определенного периода.
Это значение, называемое суммой, равно сумме основной суммы плюс проценты, то есть:
Мы можем подставить значение J в формулу выше и найти следующее выражение для суммы:
Найденная формула является аффинной функцией, поэтому значение суммы линейно растет как функция времени.
Пример
Если основная сумма 100 долларов в месяц приносит 25 долларов в месяц, какова годовая процентная ставка в простой процентной системе?
Решение
Во-первых, давайте определим каждое количество, указанное в проблеме.
C = 1000 реалов
J = 25,00 бразильских реалов
t = 1 месяц
я =?
Теперь, когда мы определили все величины, мы можем подставить в формулу процента:
Однако обратите внимание, что эта плата взимается ежемесячно, поскольку мы используем период в 1 месяц. Чтобы найти годовую плату, нам нужно умножить это значение на 12, поэтому мы имеем:
i = 2.5.12 = 30% в год
Формула сложных процентов
Сумма, капитализированная в состав сложных процентов, определяется по следующей формуле:
Существование,
M: количество
C: капитал
i: процентная ставка
t: период времени
В отличие от простых процентов, в этом типе капитализации формула для расчета суммы включает экспоненциальную вариацию. Отсюда объясняется, что окончательное значение значительно увеличивается в течение более длительных периодов.
Пример
Подсчитайте сумму, полученную от 2 000 реалов, применяемых по ставке 4% за квартал, через год в системе сложных процентов.
Решение
Идентифицируя предоставленную информацию, мы имеем:
C = 2000
i = 4% или 0,04 за квартал
t = 1 год = 4 квартала
M =?
Заменив эти значения в формуле сложных процентов, мы получим:
Таким образом, в конце года сумма будет равна 2339,71 реала.
Решенные упражнения
Вопрос 1
Расчет суммы
Какова сумма инвестиций в размере 500,00 реалов по ставке 3% в месяц в течение 1 года и 6 месяцев в системах простых и сложных процентов?
простой интерес
Данные:
С = 500
я = 0,03
t = 18 месяцев (1 год + 6 месяцев)
Сумма будет составлять стартовый капитал плюс проценты.
M = C + J
Интерес заключается в следующем:
J = C.i.t
J = 500.0.03.18 = 270
Итак, сумма будет:
M = C + J
М = 500 + 270
M = 770
Ответ: Сумма этого заявления будет составлять 770,00 реалов.
Сложные проценты
Применяя значения в формуле, мы имеем:
Ответ: Сумма инвестиций в режиме сложных процентов составляет 851,21 реала.
вопрос 2
Расчет капитала
Определенный капитал был применен сроком на 6 месяцев. Ставка составляла 5% в месяц. По истечении этого периода сумма составила 5000 реалов. Определите столицу.
простой интерес
Включение C в доказательство в формулу простого процента:
M = C + J
M = C + C.i.t
М = С (1 + i.t)
Выделение C в уравнение:
Сложные проценты
Выделение C в формуле сложных процентов и замена значений:
Ответ: Капитал должен составлять 4201,68 реалов.
вопрос 3
Расчет процентной ставки
Какова будет ежемесячная процентная ставка для инвестиции в размере 100 000 долларов США за восьмимесячный период, в результате которой будет получена сумма в размере 1600,00 долларов США.
простой интерес
Применяя формулу и ставя C в качестве доказательства:
M = C + J
M = C + C.i.t
М = С (1 + i.t)
Замена значений и выполнение численных расчетов:
в процентах
I = 7,5%
Сложные проценты
Воспользуемся формулой для сложных процентов и разделим сумму на основную сумму.
вопрос 4
Расчет периода приема (времени)
Капитал в размере 8000 реалов был инвестирован под 9% годовых, в результате чего была получена сумма в размере 10360,00 реалов.
Как долго был вложен этот капитал?
простой интерес
Используя формулу
Следовательно, время составляет примерно 3,27 месяца.
Сложные проценты
На этом этапе мы сталкиваемся с экспоненциальным уравнением.
Чтобы решить эту проблему, мы будем использовать логарифм, применяя логарифм с одинаковым основанием к обеим сторонам уравнения.
Используя свойство логарифмов в правой части уравнения, мы имеем:
вопрос 5
ОДЭК - 2018
Магазин продает телевизор со следующими условиями оплаты: первоначальный взнос в размере 800 реалов и платеж в размере 450 реалов через два месяца. Если цена спотового телевидения составляет 1200 бразильских реалов, то простая ежемесячная процентная ставка, заложенная в платеж, составляет
А) 6,25%.
Б) 7,05%.
В) 6,40%.
Г) 6,90%.
При сравнении цены телевизора наличными (1 200 реалов) и суммы, уплаченной двумя частями, мы наблюдаем увеличение на 50 реалов, поскольку уплаченная сумма была равна 1 250 реалов (800 + 450).
Чтобы найти начисленную ставку, мы можем применить простую формулу процентов, учитывая, что проценты были применены к дебетовому сальдо (стоимость TV за вычетом первоначального взноса). Итак, у нас есть:
С = 1200 - 800 = 400
Дж = 450 - 400 = 50
t = 2 месяца
J = C.i.t
50 = 400.i.2
Альтернатива: а) 6,25%
Эквивалентность капитала
В финансовой математике важно помнить, что суммы, участвующие в транзакции, будут смещаться во времени.
Учитывая этот факт, финансовый анализ подразумевает сравнение текущей стоимости с будущей стоимостью. Таким образом, у нас должен быть способ обеспечить эквивалентность капитала в разное время.
Когда мы вычисляем сумму в формуле сложных процентов, мы находим будущую стоимость для t периодов времени со ставкой i из текущей стоимости.
Это делается путем умножения члена (1 + i)нет по текущей стоимости, то есть:
Напротив, если мы хотим найти текущую стоимость, зная будущую стоимость, мы сделаем разделение, то есть:
Пример:
Чтобы купить мотоцикл по хорошей цене, человек попросил у финансовой компании ссуду в размере 6000 бразильских реалов под 15% в месяц. Два месяца спустя он заплатил 3 000 реалов и выплатил долг в следующем месяце.
Какова была сумма последнего взноса, уплаченного человеком?
Решение
Если человек смог погасить причитающуюся сумму по ссуде, то сумма, выплаченная в первом взносе плюс второй взнос, равна сумме задолженности.
Однако в течение периода выплаты корректировались на ежемесячные проценты. Следовательно, чтобы сопоставить эти суммы, мы должны знать их эквивалентные значения на одну и ту же дату.
Мы проведем эквивалентность с учетом срока ссуды, как показано на диаграмме ниже:
Используя формулу на два и три месяца:
Таким образом, последняя выплата составила 5 675,25 реалов.
Упражнение решено
вопрос 6
Заем был предоставлен под ежемесячную ставку i% с использованием сложных процентов в виде восьми фиксированных платежей, равных P.
Должник имеет возможность погасить задолженность авансом в любое время, оплатив при этом текущую стоимость долга, которая еще не выплачена. После оплаты 5-го взноса он решает выплатить долг при оплате 6-го взноса.
Выражение, которое соответствует общей сумме, уплаченной в счет погашения ссуды, выглядит следующим образом:
Ответ: буква а
