THE среднее геометрическое наряду со средним арифметическим и гармоническим средним были разработаны пифагорейской школой. В статистика довольно часто искать представление набора данных одним значением для принятия решения. Одна из возможностей для центрального значения - это среднее геометрическое.
Это полезно для представления набора, в котором данные, которые ведут себя близко к геометрическая прогрессия, а также найти сторону квадратный и куб, зная площадь и объем соответственно. Среднее геометрическое также применяется в ситуации накопления процентного увеличения или уменьшения. Чтобы вычислить среднее геометрическое для набора из n значений, мы вычисляем корень n-й степени произведения элементов, то есть, если в наборе есть три члена, например, мы умножаем три и вычисляем кубический корень из произведения.
Формула среднего геометрического
Среднее геометрическое используется для нахождения
Средняя стоимость между набором данных. Для расчета среднего геометрического необходим набор из двух и более элементов. Пусть A будет набором данных A = (x1, Икс2, Икс3,... Икснет), набор из n элементов, среднее геометрическое для этого набора рассчитывается по формуле:
Читайте тоже: Меры дисперсии: амплитуда и отклонение
Расчет среднего геометрического
Пусть A = {3,12,16,36}, каково будет среднее геометрическое для этого набора?
разрешение:
Чтобы вычислить среднее геометрическое, мы сначала подсчитываем количество членов в наборе, в случае n = 4. Итак, мы должны:
Способ 1: Выполнение умножений.
Поскольку у нас не всегда есть калькулятор для выполнения умножения, можно произвести расчет на основе факторизации натуральное число.
Способ 2: Факторизация.
Используя факторизации, мы должны:
Применение среднего геометрического
Среднее геометрическое может применяться к любому набору статистических данных, но обычно это занят в геометрия, чтобы сравнить стороны призм и кубов одинакового объема или квадратов и прямоугольников одинаковой площади. Также есть приложение в финансовые математические задачи которые включают накопленную процентную ставку, то есть процент под процентом. Помимо того, что это наиболее удобное средство для данных, которые ведут себя как геометрическая прогрессия.
Пример 1: Приложение в процентах.
Продукт в течение трех месяцев последовательно увеличивался: первый был на 20%, второй - на 10%, а третий - на 25%. Каков был средний процент увеличения в конце этого периода?
разрешение
Первоначально товар стоил 100%, в первый месяц он стал стоить 120%, что в десятичной форме записывается как 1,2. Это рассуждение будет таким же для трех увеличений, поэтому нам нужно среднее геометрическое между: 1,2; 1,1; и 1,25.
Прирост в среднем составляет 18,2% в месяц.
Смотрите также: Расчет процентов по правилу трех
Пример 2: Применение в геометрии.
Каким должно быть значение x на изображении, зная, что квадрат и прямоугольник имеют одинаковую площадь?
Разрешение:
Чтобы найти значение x стороны квадрата, мы вычислим среднее геометрическое между сторонами прямоугольника.
Следовательно, сторона квадрата 12 см.
Пример 3: Геометрическая прогрессия.
Каковы термины P.G., зная, что предшественником центрального значения является x, центральное значение - 10, а преемником центрального значения - 4x.
Разрешение:
Мы знаем термины П.Г. (x, 10,4x), и мы знаем, что среднее геометрическое между преемником и предшественником равно центральному члену P.G., поэтому мы должны:
Разница между средним геометрическим и средним арифметическим
В статистике поведение данных очень важно для выбора одного значения для их представления. Вот почему существуют типы центральных мер, а есть типы СМИ.
Выбор того, какое среднее значение использовать, должен производиться с учетом набора данных, над которым мы работаем. Как видно из примера, если это данные, которые ведут себя близко к геометрической прогрессии и имеют наиболее экспоненциальный рост, рекомендуется использовать среднее геометрическое.
В других ситуациях в основном мы используем среднее арифметическое, например, средний вес человека в течение года. При сравнении вычисления двух типов среднего для одного и того же набора данных геометрическое всегда будет меньше, чем арифметическое.
Когда мы сравниваем формулу среднего арифметического с формулой среднего геометрического, мы замечаем разницу, поскольку первая рассчитывается по формуле сумма терминов, разделеннаяВ по количеству сроков, а второй, как мы видели, вычисляется как корень n-й степени произведения всех членов.
Пример 4: Учитывая набор (3, 9, 27, 81, 243), поймите, что это P.G. отношения 3, так как от первого члена ко второму мы умножаем на три, от второго также к третьему и так далее. При поиске центрального значения для представления этого набора в идеале это должен быть центральный член прогрессии, что происходит, если мы вычисляем среднее геометрическое. Однако при вычислении среднего арифметического большие значения делают значение этого среднего слишком высоким по сравнению с условия набора, и чем больше значение, тем дальше от представления центрального члена будет среднее арифметическое.
разрешение:
1-е среднее арифметическое
2-е среднее геометрическое
Также доступ: Мода, средний и среднийа - меры центральности
решенные упражнения
Вопрос 1 - Цена на бензин в Бразилии за последние месяцы сильно выросла. Ежемесячный прирост за последние 4 месяца составил, соответственно, 9%, 15%, 25% и 16%. Каков был средний процент прироста в этот период?
а) 15%
б) 15,5%
в) 16%
г) 14%
д) 14,5%
разрешение
Альтернатива А
Вопрос 2 - Призма с прямоугольным основанием имеет такой же объем, как и куб. Зная, что размеры призмы составляют 6 см в длину, 20 см в высоту и 25 см в ширину, какова величина стороны куба в сантиметрах?
Разрешение:
Альтернатива D
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/media-geometrica.htm
