Комментарии к упражнениям по тригонометрии в прямоугольном треугольнике

Тригонометрия - важная тема в математике, которая позволяет узнать стороны и углы в прямоугольном треугольнике через синус, косинус и тангенс, в дополнение к другим тригонометрическим функциям.

Чтобы улучшить свою учебу и расширить свои знания, следуйте списку из 8 упражнений и 4 вопросов для вступительных экзаменов, которые решаются шаг за шагом.

Упражнение 1

Наблюдая утром за тенью здания на земле, один человек обнаружил, что ее длина составляет 63 метра, когда солнечные лучи составляют угол 30 ° с поверхностью. Основываясь на этой информации, рассчитайте высоту здания.

См. Ответ

Правильный ответ: Примерно 36,37 м.

Здание, тень и солнечный луч образуют прямоугольный треугольник. Используя угол 30 ° и касательную, мы можем определить высоту здания.

Поскольку высота здания h, имеем:

Упражнение 2.

На окружности диаметром 3 отрезок AC, называемый хордой, образует угол 90 ° с другой хордой CB такой же длины. Какая мера у струн?

См. Ответ

Правильный ответ: Длина скакалки 2,12 см.

Поскольку сегменты AC и CB образуют угол 90 ° и имеют одинаковую длину, образованный треугольник является равнобедренным, а углы при основании равны.

Поскольку сумма внутренних углов треугольника равна 180 °, а у нас уже есть угол 90 °, осталось еще 90 °, которые необходимо разделить поровну между двумя основными углами. Таким образом, значение каждого из них равно 45º.

Поскольку диаметр равен 3 см, радиус равен 1,5 см, и мы можем использовать косинус 45 ° для определения длины струны.

Упражнение 3.

Велосипедист, участвующий в чемпионате, приближается к финишу на вершине склона. Общая длина этой последней части испытания составляет 60 м, а угол между пандусом и горизонтом составляет 30 °. Зная это, рассчитайте вертикальную высоту, которую должен преодолеть велосипедист.

См. Ответ

Правильный ответ: высота будет 30 м.

Называя высоту h, мы имеем:

Упражнение 4.

Следующий рисунок образован тремя треугольниками, высота h которых определяет два прямых угла. Значения элементов:

α = 30°
β = 60°
в = 21

Найдите значение a + b.

См. Ответ

Правильный ответ:

Мы можем определить размеры отрезков a и b, используя тангенсы данных углов.

Расчет:

Расчет b:

Таким образом,

Упражнение 5.

Самолет вылетел из города А и пролетел 50 км по прямой, пока не приземлился в городе Б. Затем он пролетел еще 40 км, на этот раз в сторону города D. Эти два маршрута расположены под углом 90 ° друг к другу. Однако из-за неблагоприятных погодных условий пилот получил сообщение с диспетчерской башни о том, что он не может приземлиться в городе D и что ему следует вернуться в город A.

Чтобы совершить разворот из точки C, пилот должен сделать поворот вправо на сколько градусов?

Рассмотреть возможность:

грех 51 ° = 0,77
cos 51 ° = 0,63
загар 51 ° = 1,25

См. Ответ

Правильный ответ: пилот должен повернуть вправо на 129 °.

Анализируя рисунок, мы видим, что путь образует прямоугольный треугольник.

Назовем угол, который мы ищем для W. Углы W и Z являются дополнительными, то есть образуют пологий угол 180 °.

Таким образом, W + Z = 180 °.

W = 180 - Z (уравнение 1)

Теперь наша задача - определить угол Z, и для этого мы будем использовать его тангенс.

Мы должны спросить себя: какой угол имеет тангенс 1,25?

Задача дает нам эти данные, tg 51 ° = 1,25.

Это значение также можно найти в тригонометрической таблице или в научном калькуляторе, используя функцию:

Подставляя значение Z в уравнение 1, мы имеем:

Ш = 180 ° - 51 ° = 129 °

Упражнение 6.

Луч монохроматического света, переходя из одной среды в другую, отклоняется по направлению к ней. Это изменение в его распространении связано с показателями преломления среды, как показано в следующей зависимости:

Закон Снеллиуса - Декарт

Где i и r - углы падения и преломления, а n1 и n2 - показатели преломления средств 1 и 2.

При попадании на поверхность раздела между воздухом и стеклом луч света меняет свое направление, как показано на рисунке. Какой показатель преломления у стекла?

Данные: Показатель преломления воздуха равен 1.

См. Ответ

Правильный ответ: показатель преломления стекла равен .

Подменив значения у нас:

Упражнение 7.

Чтобы затащить деревянное бревно в свою мастерскую, слесарь привязал к бревну веревку и протянул ее на десять футов по горизонтальной поверхности. Сила 40 Н, действующая через струну, составляла угол 45 ° с направлением движения. Рассчитайте работу приложенной силы.

См. Ответ

Правильный ответ: Выполненная работа примерно 84,85 Дж.

Работа - это скалярная величина, полученная как произведение силы и смещения. Если сила не имеет того же направления, что и смещение, мы должны разложить эту силу и рассматривать только составляющую в этом направлении.

В этом случае мы должны умножить силу на косинус угла.

Итак, у нас есть:

Упражнение 8.

Между двумя горами жителям двух деревень пришлось пройти нелегкий путь вверх и вниз. Для разрешения ситуации было решено построить вантовый мост между селами А и Б.

Расстояние между двумя деревнями нужно было бы рассчитать по прямой, по которой будет протянут мост. Поскольку жители уже знали высоту городов и углы подъема, это расстояние можно было вычислить.

Исходя из схемы ниже и зная, что высота городов была 100 м, рассчитайте длину моста.

См. Ответ

Правильный ответ: длина моста должна составлять примерно 157,73 м.

Длина моста - это сумма сторон, примыкающих к данным углам. Называя высоту h, мы имеем:

Расчет с углом 45 °

Расчет с углом 60 °

Для определения длины моста суммируем полученные значения.

Вопрос 1

Cefet - SP

В треугольнике ABC ниже CF = 20 см и BC = 60 см. Отметьте измерения сегментов AF и BE соответственно.

а) 5, 15
б) 10, 20
в) 15, 25
г) 20, 10
д) 10, 5

См. Ответ

Ответ: б) 10, 20

Для определения AF

Отметим, что AC = AF + CF, поэтому мы должны:

AF = AC - CF (уравнение 1)

CF задается задачей, равной 20 см.

AC можно определить с помощью синуса 30 °.

BC предусмотрен задачей, он равен 60 см.

Подставляя в уравнение 1, мы имеем:

Чтобы определить БЫТЬ

Первое наблюдение:

Мы проверяем, что фигура внутри треугольника является прямоугольником из-за прямых углов, определенных на рисунке.

Следовательно, их стороны параллельны.

Второе наблюдение:

Сегмент BE образует прямоугольный треугольник с углом 30 °, где: высота равна AF, которую мы только что определили, а BE - гипотенуза.

Делаем расчет:

Мы используем синус 30 ° для определения BE

вопрос 2

EPCAR-MG

Самолет взлетает из точки B под постоянным углом наклона 15 ° к горизонтали. В 2 км от B находится вертикальная проекция C наивысшей точки D горного хребта высотой 600 м, как показано на рисунке.

Данные: cos 15 ° = 0,97; sin 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27

Правильно сказать, что:

а) Самолет не столкнется с пилой, не достигнув высоты 540 м.
б) Произойдет столкновение рубанка и пилы на высоте 540 м.
c) Самолет столкнется с пилой в D.
г) Если самолет взлетает за 220 м до точки B, сохраняя тот же наклон, то столкновения самолета с пилой не будет.

См. Ответ

Ответ: б) Произойдет столкновение рубанка с пилой на высоте 540 м.

Во-первых, необходимо использовать одинаковые кратные единицы измерения длины. Поэтому пройдем 2 км до 2000 м.

Следуя тем же начальным условиям полета, мы можем предсказать высоту, на которой самолет будет находиться в вертикальной проекции точки C.

Используя касательную 15 ° и определяя высоту как h, мы имеем:

вопрос 3

ENEM 2018

Для украшения прямого круглого цилиндра будет использована прямоугольная полоска прозрачной бумаги, на которой жирным шрифтом нарисована диагональ, составляющая 30 ° с нижним краем. Радиус основания цилиндра составляет 6 / π см, а при намотке полосы получается линия в форме спирали, как показано на рисунке.

Значение измерения высоты цилиндра в сантиметрах составляет:

а) 36√3
б) 24√3
в) 4√3
г) 36
д) 72

См. Ответ

Ответ: б) 24√3

Наблюдая за фигурой, мы замечаем, что вокруг цилиндра было сделано 6 оборотов. Поскольку это прямой цилиндр, в любом месте его высоты у нас будет круг в качестве основания.

Для вычисления меры основания треугольника.

Длину круга можно получить по формуле:

Где r - радиус e, равный ,у нас есть:

Как проходят 6 кругов:

Мы можем использовать загар 30 ° для расчета высоты.

вопрос 4

ENEM 2017

Лучи солнечного света достигают поверхности озера под углом X к его поверхности, как показано на рисунке.

При определенных условиях можно предположить, что сила света этих лучей на поверхности озера приблизительно равна I (x) = k. sin (x), где k является константой, и предполагается, что X находится между 0 ° и 90 °.

Когда x = 30º, сила света уменьшается до какого процента от максимального значения?

А) 33%
Б) 50%
В) 57%
Г) 70%
E) 86%

См. Ответ

Ответ: Б) 50%

Заменив значение синуса 30 ° в функции, получим:

Уменьшив значение k вдвое, интенсивность составляет 50%.

Практикуйте больше упражнений в:

Упражнения по тригонометрии

Расширьте свои знания с помощью:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Метрические отношения в прямоугольном треугольнике

Тригонометрия