Угол между двумя векторами

protection click fraud

В математике или физике векторов они есть прямые сегменты с направлением, направлением и длиной, которые используются для представления таких величин, как сила, скорость и ускорение.

Векторы указывают траектории и могут быть определены с помощью системы координат (x, y). Учитывая точку (0,0) как начало сегмента, вектор представлен на рисунке ниже. $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u}}$ чей конец - это точка $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ (x_1, y_1 \)}$ .

Обозначение: $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ .

посвященный $\ dpi {120} \ boldsymbol {x_1}$ называется горизонтальной составляющей, а абсцисса $\ dpi {120} \ boldsymbol {y_1}$ , вертикальной составляющей.

Теперь рассмотрим, помимо вектора $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ , другой вектор $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ и угол, образованный между ними, как показано на рисунке ниже.

Этот угол между векторами можно вычислить по формуле, которая включает скалярное произведение между векторами и норму (длину) каждого вектора.

Угол между двумя векторами

Две векторные кости $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ а также $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ , косинус угла $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta}$ среди них внутреннее произведение между векторами и их стандартами связано следующим образом:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {\ left \ langle \ vec {u}, \ vec {v} \ right \ rangle} {\ | \ vec {u} \ |. \ | \ vec {v} \ | }}$

Числитель дроби - это внутреннее произведение векторов, определяемое по формуле:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ left \ lange \ vec {u}, \ vec {v} \, \ right \ rangle = x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2}$

А знаменатель - это произведение стандартов каждого из векторов, как показано ниже:

instagram story viewer

Ознакомьтесь с некоторыми бесплатными курсами

Бесплатный онлайн-курс инклюзивного образования
Бесплатная онлайн-библиотека игрушек и обучающий курс
Бесплатные онлайн-курсы по математическим играм в дошкольном образовании
Бесплатный онлайн-курс педагогических и культурных семинаров

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {u} \ | = \ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2}}$

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {v} \ | = \ sqrt {(x_2) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}$

Сделав замену, мы убедились, что формула угла между двумя векторами é:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2} {\ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(x_2 )) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}}$

Пример:

Вычислить угол между векторами $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (2,4 \)}$ а также $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (5,3 \)}$ .

Применяя значения в формуле, мы должны:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {2 \ cdot 5 + 4 \ cdot 3} {\ sqrt {(2) ^ 2 + (4) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(5 ) ^ 2 + (3) ^ 2}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {10 + 12} {\ sqrt {4 + 16} \ cdot \ sqrt {25 + 9}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {\ theta = cos ^ {- 1} \ left (\ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}} \ right)}$

С помощью калькулятора или тригонометрическая таблица, мы видим, что:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta = 32,47 ^ {\ circ}}$

Вам также может быть интересно:

Луки с более чем одним оборотом
Дуги и круговое движение
тригонометрический круг
скорость автомобиля

Пароль был отправлен на вашу электронную почту.

Teachs.ru

Угол между двумя векторами

Угол между двумя векторами

Парагвайские военные сражения

Договор о тройственном союзе

Я не могу найти 70% спиртовой гель: что теперь?