Теорема Даламбера

Теорема Даламбера является непосредственным следствием теоремы об остатке, которая касается деления полинома на бином типа x - a. Теорема об остатке говорит, что полином G (x), деленный на бином x - a, будет иметь остаток R, равный P (a), для
х = а. Французский математик Даламбер доказал с учетом цитированной выше теоремы, что многочлен любое Q (x) будет делиться на x - a, то есть остаток от деления будет равен нулю (R = 0), если P (a) = 0.
Эта теорема упростила вычисление деления полинома на бином (x –a), поэтому нет необходимости решать все деление, чтобы узнать, равен ли остаток нулю или отличен от него.
Пример 1
Вычислить остаток от деления (x² + 3х - 10): (х - 3).
Как гласит теорема Даламбера, остаток (R) от этого деления будет равен:
P (3) = R
3² + 3 * 3 - 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Таким образом, остальная часть этого дивизиона будет 8.
Пример 2
Проверить, если x⁵ - 2x⁴ + х³ + x - 2 делится на x - 1.
Согласно Д’Аламберу, многочлен делится на двучлен, если P (a) = 0.
Р (1) = (1)⁵ – 2*(1)

⁴ + (1)³ + (1) – 2
P (1) = 1-2 + 1 + 1-2
Р (1) = 3-4
P (1) = - 1
Поскольку P (1) не равно нулю, многочлен не делится на двучлен x - 1.
Пример 3
Вычислите значение m так, чтобы остаток от деления многочлена
Р (х) = х⁴ - mx³ + 5x² + x - 3 на x - 2 равно 6.
Имеем, что R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
P (2) = 2⁴ - м * 2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ - м * 2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16-8 месяцев + 20 + 2-3 = 6
- 8м = 6 - 38 + 3
- 8м = 9 - 38
- 8м = - 29
м = 29/8
Пример 4
Вычислить остаток от деления полинома 3x³ + х² - 6x + 7 на 2x + 1.
R = P (х) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (ммк)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

Марк Ноа
Окончил математику
Бразильская школьная команда

Полиномы - Математика - Бразильская школа

Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm