THE арифметическая прогрессия (AP) является числовая последовательность которые мы используем для описания поведения определенных явлений в математике. В PA рост или распад всегда постоянны, то есть от одного термина к другому разница всегда будет одинаковой, и это различие известно как причина.
В результате предсказуемое поведение прогрессии, вы можете описать это с помощью формулы, известной как общий термин. По этой же причине также можно рассчитать сумму членов PA, используя определенную формулу.
Читайте тоже: Геометрическая прогрессия - как рассчитать?
Что такое ПА?
Понимание того, что PA - это последовательность терминов, в которой разница между термином и предыдущим всегда постоянна, чтобы описать этот переход от формулы, нам нужно найти начальный член, или то есть первый член прогрессии и его причина, которая представляет собой постоянную разницу между термины.
Вообще говоря, PA записывается следующим образом:
(В1, а2, The3, а4, The5, а6, The7, а8)
Первый член - это а1 а оттуда к Добавлять причина р, найдем условия преемника.
В1 + г = а2
В2 + г = а3
В3 + г = а4
...
Итак, чтобы написать арифметическую прогрессию, нам нужно знать, кто является ее первым членом и почему.
Пример:
Давайте запишем первые шесть членов AP, зная, что его первый член равен 4, а его отношение равно 2. зная1 = 4 и r = 2, мы заключаем, что эта прогрессия начинается с 4 и увеличивается от 2 до 2. Поэтому мы можем описать его условия.
В1 = 4
В2 = 4+ 2 = 6
В3 = 6 + 2 = 8
В4 = 8 + 2 = 10
В5= 10 + 2 = 12
В6 = 12 + 2 =14
Этот BP равен (4,6,8,10,12,14…).
Общий срок ОО
Описание PA с помощью формулы позволяет нам легко найти любой из ее терминов. Чтобы найти любой член AP, мы используем следующую формулу:
Внет= а1 + г · (п-1) |
N → - позиция термина;
В1→ - первый член;
г → причина.
Пример:
Найди это общий срок ОО (1,5,9,13,…) и 5-й, 10-й и 23-й триместры.
1 шаг: найди причину.
Чтобы найти соотношение, просто вычислите разницу между двумя последовательными членами: 5 - 1 = 4; то в этом случае r = 4.
2-й шаг: найдите общий термин.
Откуда мы знаем, что1= 1 и r = 4, подставим в формулу.
Внет= а1 + г (п - 1)
Внет= 1 + 4 (п - 1)
Внет= 1 + 4n - 4
Внет= 4n - 3 → общий член PA
3 шаг: зная общий член, вычислим 5-й, 10-й и 23-й член.
5 член → n = 5
Внет= 4n - 3
В5=4·5 – 3
В5=20 – 3
В5=17
10 член → n = 10
Внет= 4n - 3
В10=4·10 – 3
В10=40 – 3
В10=37
23 член → n = 23
Внет= 4n - 3
В23=4·23 – 3
В23=92 – 3
В23=89
Типы арифметических прогрессий
Есть три возможности для PA. Он может быть увеличивающимся, уменьшающимся или постоянным.
Рост
Как следует из названия, арифметическая прогрессия увеличивается, когда, по мере увеличения сроков их значение также увеличивается., то есть второй член больше первого, третий больше второго и т. д.
В1 2 3 4 < …. нет
Чтобы это произошло, отношение должно быть положительным, то есть PA увеличивается, если r> 0.
Примеры:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
нисходящий
Как следует из названия, арифметическая прогрессия убывает, когда, по мере увеличения терминов их значение уменьшается, то есть второй член меньше первого, третий меньше второго и т. д.
В1 > в2 > в3 > в4 > …. > внет
Чтобы это произошло, отношение должно быть отрицательным, то есть PA увеличивается, если r <0.
Примеры:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Постоянный
Арифметическая прогрессия постоянна, когда, по мере увеличения сроков значение остается прежним., то есть первый член равен второму, который равен третьему, и так далее.
В1 = the2 = the3 = the4 = …. = анет
Чтобы PA был постоянным, отношение должно быть равно нулю, то есть r = 0.
Примеры:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Смотрите также: Произведение терминов PG - какова формула?
Свойства PA
1-й объект
При любом сроке действия ОО в среднем арифметика между его преемником и предшественником равен этому сроку.
Пример:
Рассмотрим прогрессию (-1, 2, 5, 8, 11) и член 8. Среднее значение от 11 до 5 равно 8, то есть сумма преемника с предшественником числа в PA всегда равна этому числу.
2-е свойство
Сумма равноудаленных членов всегда равна.
Пример:
Сумма сроков ОО
Предположим, мы хотим добавить шесть терминов BP, показанных выше: (16,13,10,7,4,1). Мы можем просто добавить их термины - в этом случае терминов немного, это возможно - но если это так более длинная строка, вы должны использовать свойство. Мы знаем, что сумма равноотстоящих членов всегда равна, как мы видели в свойстве, поэтому, если мы выполним это сложите один раз и умножьте на половину количества членов, мы получим сумму первых шести членов КАСТРЮЛЯ.
Обратите внимание, что в этом примере мы будем вычислять сумму первого и последнего, которая равна 17, умноженная на половину количества членов, то есть 17 умножить на 3, что равно 51.
Формула сумма сроков ОО он был разработан математиком Гауссом, который реализовал эту симметрию в арифметических прогрессиях. Формула записывается следующим образом:
sнет → сумма n элементов
В1 → первый срок
Внет → последний срок
n → количество терминов
Пример:
Вычислите сумму нечетных чисел от 1 до 2000.
Разрешение:
Мы знаем, что эта последовательность является PA (1,3,5,…. 1997, 1999). Подсчитать сумму будет довольно сложно, поэтому формула довольно удобна. От 1 до 2000 половина чисел нечетные, поэтому получается 1000 нечетных чисел.
Данные:
п → 1000
В1 → 1
Внет → 1999
Также доступ: Сумма конечной ГУ - как это сделать?
Интерполяция средних арифметических
Зная два непоследовательных члена арифметической прогрессии, можно найти все члены, которые попадают между этими двумя числами, что мы знаем как интерполяция средних арифметических.
Пример:
Давайте интерполируем 5 средних арифметических значений между 13 и 55. Это означает, что есть 5 чисел от 13 до 55, и они образуют прогрессию.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
Чтобы найти эти числа, необходимо найти причину. Мы знаем первый член (1 = 13), а также 7-й член (7= 55), но мы знаем, что:
Внет = the1 + г · (п - 1)
Когда n = 7 → aнет= 55. Мы также знаем ценность1=13. Итак, подставляя его в формулу, мы должны:
55 = 13 + r · (7 - 1)
55 = 13 + 6р
55 - 13 = 6р
42 = 6р
г = 42: 6
г = 7.
Зная причину, мы можем найти термины от 13 до 55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
решенные упражнения
Вопрос 1 - (Enem 2012) - Игра в карты - это деятельность, которая стимулирует рассуждение. Традиционной игрой является пасьянс, в котором используются 52 карты. Изначально из карточек формируется семь столбцов. В первом столбце одна карта, во втором - две карты, в третьем - три карты, в четвертом - четыре карты и т. Д. последовательно до седьмого столбца, в котором есть семь карт, и то, что составляет стопку, то есть неиспользованные карты в столбцы.
Количество карт, составляющих стопку:
А) 21.
Б) 24.
В) 26.
Г) 28.
Д) 31.
разрешение
Альтернатива Б.
Сначала давайте посчитаем общее количество использованных карточек. Мы работаем с AP, первый член которого равен 1, а коэффициент также равен 1. Итак, вычисляя сумму 7 строк, последний член равен 7, а значение n также равно 7.
Зная, что было использовано 28 карт и 52 карты, стопка формируется из следующих элементов:
52 - 28 = 24 карты
Вопрос 2 - (Энем 2018) Мэрия небольшого городка в интерьере решает поставить столбы для освещения вокруг по прямой дороге, которая начинается на центральной площади и заканчивается возле фермы. деревенский. Поскольку на площади уже есть освещение, первый столб будет размещен в 80 метрах от площади, второй - на 100 метрах, третий - на 120 метрах и так далее. последовательно, всегда сохраняя расстояние 20 метров между столбами, пока последний столб не будет установлен на расстоянии 1380 метров от квадратный.
Если город может заплатить максимум 8000 бразильских реалов за размещенное сообщение, максимальная сумма, которую вы можете потратить на размещение этих сообщений, составляет:
A) 512 000 реалов.
Б) 520 000 бразильских реалов.
C) 528 000 реалов.
D) 552 000 бразильских реалов.
E) 584 000 бразильских реалов.
разрешение
Альтернатива C.
Мы знаем, что столбы будут размещены каждые 20 метров, то есть r = 20, и что первый член этого PA равен 80. Кроме того, мы знаем, что последний член - 1380, но мы не знаем, сколько терминов находится между 80 и 1380. Чтобы вычислить это количество терминов, воспользуемся общей формулой термина.
Данные: aнет = 1380; В1=80; и r = 20.
Внет= а1 + г · (п-1)
Будет размещено 660 постов. Если каждый из них будет стоить максимум 8000 реалов, максимальная сумма, которую можно потратить на размещение этих постов, составит:
66· 8 000 = 528 000
Рауль Родригес де Оливейра
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm
