unu ecuaţie este o propoziție matematică care are o egalitate și cel puțin o necunoscută, adică atunci când avem implicarea unui expresie algebrică și o egalitate. Studiul ecuațiilor necesită cunoștințe prealabile, cum ar fi studiul expresii numerice. Scopul unei ecuații este găsiți valoarea necunoscută care transformă egalitatea într-o identitate, adică o egalitate adevărată.
Citește și:Operații cu fracții - cum se calculează?
Concepte de bază pentru studiul ecuației
O ecuație este o propoziție matematică care are o necunoscut, cel puțin, și a egalitate, și îl putem clasifica după numărul său de necunoscute. Vezi câteva exemple:
a) 5t - 9 = 16
Ecuația are o necunoscută, reprezentată de literă t.
b) 5x + 6y = 1
Ecuația are două necunoscute, reprezentate de litere X și y.
CT4 - 8z = x
Ecuația are trei necunoscute, reprezentate de litere O.K,z și X.
Oricare ar fi ecuația, trebuie să ținem cont de dvs. set univers,compus din toate valorile posibile pe care le putem atribui necunoscutului, acest set este reprezentat de literă U.
Exemplul 1
Luați în considerare ecuația x + 1 = 0 și soluția sa posibilă x = –1. Acum considerați că setul universului al ecuației este natural.
Rețineți că soluția presupusă nu aparține setului universului, deoarece elementele sale sunt toate valorile posibile pe care necunoscutul le poate lua, deci x = –1 nu este soluția la ecuație.
Desigur, cu cât numărul de necunoscute este mai mare, cu atât este mai dificil să vă determinați soluția. THE soluţie sau sursă a unei ecuații este ansamblul tuturor valorilor care, atunci când sunt atribuite necunoscutului, fac ca egalitatea să fie adevărată.
Exemplul 2
Luați în considerare ecuația cu un 5x - 9 = 16 necunoscut, verificați dacă x = 5 este soluția sau rădăcina ecuației.
Astfel încât este posibil să spunem asta x = 5 este soluția ecuației, trebuie să înlocuim acea valoare în expresie, dacă găsim o adevărată egalitate, numărul va fi soluția testată.
5X – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
Vedeți că egalitatea găsită este adevărată, deci avem o identitate și numărul 5 este o soluție. Deci, putem spune că setul de soluții este dat de:
S = {5}
Exemplul 3
Luați în considerare ecuația t2 = 4 și verificați dacă t = 2 sau t = –2 sunt soluții la ecuație.
În mod analog, ar trebui să înlocuim valoarea lui t în ecuație, cu toate acestea, rețineți că avem două valori pentru necunoscut și, prin urmare, ar trebui să efectuăm verificarea în doi pași.
Pasul 1 - Pentru t = 2
t2= 4
22 = 4
4 = 4
Pasul 2 - Pentru t = –2
t2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
Vezi pentru t = 2 și t = - 2 găsim o identitate, deci aceste două valori sunt soluții la ecuație. Astfel, putem spune că soluția setată este:
S = {2, –2}
Tipuri de ecuații
De asemenea, putem clasifica o ecuație cu privire la poziția pe care o ocupă necunoscutele. Vedeți principalele tipuri:
Ecuații polinomiale
La ecuații polinomiale se caracterizează prin faptul că au un polinom egal cu zero. Vezi câteva exemple:
) 6t3+ 5t2–5t = 0
Numerele6, 5 și –5 sunt coeficienții ecuației.
B) 9X – 9= 0
Numerele 9 și – 9 sunt coeficienții ecuației.
c) y2– y – 1 = 0
Numerele 1, – 1 și – 1 sunt coeficienții ecuației.
Gradele de ecuație
Ecuațiile polinomiale pot fi clasificate după gradul lor. La fel de bine ca polinomiale, gradul unei ecuații polinomiale este dat de cea mai mare putere care are un coeficient diferit de zero.
Din exemplele anterioare a, b și c, avem că gradele ecuațiilor sunt:
a) 6t3 + 5t2 –5t = 0 → Ecuația polinomială a lui gradul III
b) 9X - 9 = 0 → Ecuația polinomială a primul grad
ç) y2 - y - 1 = 0 → Ecuația polinomială a liceu
Citește și tu: ecuație pătraticău: cum se calculează, tipuri, exemple
ecuații raționale
Ecuațiile raționale se caracterizează prin faptul că au necunoscute în numitorul a fracțiune. Vezi câteva exemple:
Citește și tu: Ce sunt numerele raționale?
ecuații iraționale
La ecuații iraționale se caracterizează prin faptul că au necunoscute în interiorul unei rădăcini a n-a, adică în interiorul unui radical care are indicele n. Vezi câteva exemple:
ecuații exponențiale
La ecuații exponențiale au necunoscute localizate în exponent de o potență. Vezi câteva exemple:
ecuație logaritmică
La ecuații logaritmice se caracterizează prin a avea una sau mai multe necunoscute în unele părți ale logaritm. Vom vedea că, atunci când aplicăm definiția logaritmului, ecuația se încadrează în unele dintre cazurile anterioare. Vezi câteva exemple:
Vezi și: Ecuația de gradul I cu o necunoscută
Cum se rezolvă o ecuație?
Pentru a rezolva o ecuație, trebuie să studiem metodele utilizate în fiecare tip, adică pentru fiecare tip de ecuație, există o metodă diferită pentru a determina rădăcinile posibile. Cu toate acestea, toate aceste metode sunt derivat din principiul echivalenței, cu acesta este posibil să se rezolve principalele tipuri de ecuații.
Principiul echivalenței
Al doilea principiu al echivalenței, putem opera în mod liber pe o parte a egalității, atâta timp cât facem același lucru pe cealaltă parte a egalității. Pentru a îmbunătăți înțelegerea, vom numi aceste părți.
Prin urmare, principiul echivalenței afirmă că este posibil operează pe primul membru liber atâta timp cât aceeași operație se face la cel de-al doilea membru.
Pentru a verifica principiul echivalenței, luați în considerare următoarea egalitate:
5 = 5
Sa mergem acum a adauga pe ambele părți numărul 7 și rețineți că egalitatea va fi încă adevărată:
5 =5
5 + 7= 5 + 7
12 = 12
Sa mergem acum scădea 10 de ambele părți ale egalității, rețineți că egalitatea va fi încă adevărată:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
vezi că putem multiplica sau acțiune și ridicați la o potență sau chiar extrageți un sursă, atâta timp cât se face pe primul și al doilea membru, egalitatea va rămâne întotdeauna adevărată.
Pentru a rezolva o ecuație, trebuie să folosim acest principiu împreună cu cunoașterea operațiunilor menționate. Pentru a facilita dezvoltarea ecuațiilor, să omitem operația făcută pe primul membru, echivalând cu a spune că îi trecem numărul celuilalt membru, schimbând semnul pentru contrariul.
Ideea de a determina soluția unei ecuații este întotdeauna izolează necunoscutul folosind principiul echivalenței, Uite:
Exemplul 4
Folosind principiul echivalenței, determinați mulțimea soluției ecuației 2x - 4 = 8 știind că mulțimea universului este dată de: U = ℝ.
2x - 4 = 8
Pentru a rezolva o ecuație polinomială de gradul întâi, trebuie să lăsăm necunoscutul izolat în primul membru. Pentru aceasta, vom lua numărul –4 de la primul membru, adăugând 4 la ambele părți, deoarece –4 + 4 = 0.
2x - 4 = 8
2x - 4+ 4 = 8+ 4
2x = 12
Rețineți că efectuarea acestui proces este echivalentă cu simpla trecere a numărului 4 cu semnul opus. Deci, pentru a izola x-ul necunoscut, să trecem numărul 2 celui de-al doilea membru, deoarece se înmulțește x. (Amintiți-vă: operația inversă a înmulțirii este împărțirea). Ar fi la fel ca împărțirea ambelor părți la 2.
Prin urmare, setul de soluții este dat de:
S = {6}
Exemplul 5
Rezolvați ecuația 2x + 5 = 128 știind că setul universului este dat de U = ℝ.
Pentru a rezolva ecuația exponențială, să folosim mai întâi următoarele proprietate de potențare:
m + n =m · ANu
Vom folosi, de asemenea, faptul că 22 = 4 și 25 = 32.
2x + 5 = 128
2X · 25 = 128
2X · 32 = 128
Rețineți că este posibil să împărțiți ambele părți la 32, adică să treceți numărul 32 celui de-al doilea membru împărțind.
Deci trebuie să:
2X = 4
2X = 22
Singura valoare a lui x care satisface egalitatea este numărul 2, deci x = 2 și soluția este dată de:
S = {2}
exerciții rezolvate
intrebarea 1 - Luați în considerare universul set U = ℕ și determinați soluția următoarei ecuații iraționale:
Rezoluţie
Pentru a rezolva această ecuație, trebuie să fim preocupați de eliminarea rădăcinii primului membru. Rețineți că, pentru aceasta, este necesar să ridicați primul membru la același index ca rădăcina, adică la cub. Prin principiul echivalenței, trebuie să ridicăm și al doilea membru al egalității.
Rețineți că acum trebuie să rezolvăm o ecuație polinomială de gradul al doilea. Să trecem numărul 11 celui de-al doilea membru (scădeți 11 pe ambele părți ale egalității), pentru a izola x-ul necunoscut.
X2 = 27 – 11
X2 = 16
Acum, pentru a determina valoarea lui x, vezi că există două valori care satisfac egalitatea, x ’= 4 sau x’ ’= –4, o singura data:
42 = 16
și
(–4)2 = 16
Cu toate acestea, rețineți în enunțul întrebării că setul de univers dat este mulțimea numerelor naturale, iar numărul –4 nu îi aparține, astfel, soluția set este dată de:
S = {4}
intrebarea 2 - Luați în considerare ecuația polinomială x2 + 1 = 0 știind că setul universului este dat de U = ℝ.
Rezoluţie
Pentru principiul echivalenței, scădeți 1 din ambii membri.
X2 + 1 – 1= 0 – 1
X2 = – 1
Rețineți că egalitatea nu are nicio soluție, deoarece setul universului este numărul real, adică toate valorile pe care necunoscutul le poate presupune sunt reale și nu există un număr real care, atunci când este pătrat, este negativ.
12 = 1
și
(–1)2 = 1
Prin urmare, ecuația nu are nicio soluție în setul de reali și, prin urmare, putem spune că setul de soluții este gol.
S = {}
de Robson Luiz
Profesor de matematică