Poliedre (din latină poli - multe - și hedron - fata) sunt cifretridimensional format prin unirea de poligoane regulate, în care unghiurile poliedrice sunt toate congruente. Unirea acestor poligoane formează elemente care alcătuiesc poliedrul, acestea fiind: vârfuri, margini și fețe. Cu toate acestea, nu fiecare figură tridimensională este un poliedru, un exemplu în acest sens sunt figurile care au fețe curbate numite corpuri rotunde.
Există o formulă matematică care leagă elementele unui poliedru numit Relația lui Euler. Mai mult, poliedrele sunt împărțite în două grupuri: așa-numitele poliedre convex si nu convex. Unele poliedre merită o atenție specială, sunt numite Poliedrele lui Platon: tetraedru, hexaedru, octaedru, dodecaedru și icosaedru.
Citește și: Diferențele dintre figurile plane și spațiale
poliedre convexe
Un poliedru va fi convex atunci când este format din poligoane convex, astfel încât să fie acceptate următoarele condiții:
- doi dintre poligoane Nu sunt coplanare, adică nu aparțin aceluiași plan.
- Fiecare parte a unuia dintre aceste poligoane aparține doar a două poligoane.
- Planul care conține oricare dintre acești poligoane lasă ceilalți poligoane în același jumătate de spațiu.
Citește și:Suma unghiurilor interne și externe ale unui poligon convex
Elemente ale unui poliedru convex
Luați în considerare acest poliedru convex:
Tu patrulatere în figură sunt numite fețe a poliedrului.
Tu pentagoane sunt fețele și baza poliedrului, care este denumit poliedru cu bază pentagonală.
Se numesc segmentele care formează fiecare dintre fețe margini a poliedrului.
Punctele unde se întâlnesc muchiile se numesc vârfuri.
Segmentul de linie JC va fi numit diagonală a poliedrului, notat cu:
Înțelegem că JC este una dintre diagonale diagonală a poliedrului ca fiind segmentul de linie care unește două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe.
Avem și unghiul poliedric, format între margini, notat cu:
Un unghi poliedric se numește a triedru Cand Trei marginile provin dintr-un vârf. La fel, se numește tetraedric, caz patru marginile provin dintr-un vârf și așa mai departe.
De acum înainte, vom stabili câteva notații, acestea fiind:
Aflați mai multe: Planificarea solidelor geometrice
Proprietățile unui poliedru convex
Proprietatea 1
Suma muchiilor tuturor fețelor este egală cu dublul numărului de margini ale poliedrului.
Exemplu
Un poliedru are 6 fețe pătrate. Să determinăm numărul de muchii.
Conform proprietății, înmulțiți numărul de margini ale unei fețe cu numărul de fețe, iar acest lucru este egal cu dublul numărului de margini. Prin urmare:
Proprietatea 2
Suma vârfurilor tuturor fețelor este egală cu suma marginilor tuturor fețelor, care este egală cu dublul numărului de margini.
Exemplu
Un poliedru cu 5 unghiuri tetraedrice și 4 unghiuri hexaedrice. Să determinăm numărul de muchii.
Analog cu exemplul anterior, a doua proprietate spune că suma marginilor tuturor fețelor este egală cu dublul numărului de margini. Numărul muchiilor este dat de produsul de 5 cu 4 și 4 cu 6, deoarece acestea sunt 5 unghiuri tetraedrice și 4 unghiuri hexaedrice. Prin urmare:
Poliedre concave (neconvexe)
Un poliedru este neconvex sau concav, atunci când luăm două puncte pe fețe diferite și pe dreaptă r care conține aceste puncte nu este toate conținute în poliedru.
Rețineți că linia dreaptă (în albastru) nu este completă în poliedru, deci poliedrul (în roz) este concav sau neconvex.
poliedre regulate
Spunem că un poliedru este regulat atunci când fețele tale sunt poligoane regulate egale între ele și cu unghiuri poliedrice la fel.
Vezi câteva exemple:
Observați că toate fețele dvs. sunt poligoane regulate. Fețele sale sunt formate din pătrate și marginile sunt toate congruente, adică au aceeași măsură.
cititde asemenea: Ce sunt poligoanele regulate și convexe?
Relația lui Euler
De asemenea cunoscut ca si Teorema lui Euler, rezultatul a fost dovedit de Leonhard Euler (1707 - 1783) și garantează că în tot poliedrul convex închis următoarea relație este valabilă:
Poliedrele lui Platon
Orice poliedru care îndeplinește următoarele condiții se numește poliedru al lui Platon:
Relația Euler este valabilă
Toate fețele au același număr de margini
Toate unghiurile poliedrice au același număr de muchii
S-a dovedit că există doar cinci poliedre regulate sau convexe, sau poliedrele lui Platon, acestea fiind:
tetraedru regulat
tetraedrul are 4 fețe triunghiulare congruente și 4 unghiuri triedrice congruente.
hexaedru regulat
hexaedrul are 6 fețe pătrate congruente și 8 unghiuri triedrice congruente.
octaedru regulat
octaedrul are 8 fețe triunghiulare congruente și 6 unghiuri tetraedrice congruente.
dodecaedru regulat
dodecaedrul are 12 fețe pentagonale congruente și 20 de unghiuritriedru congruente.
icosaedru regulat
Icosaedrul are 20 de fețe triunghiulare congruente și 12 unghiuri pentaedrice congruente.
exerciții rezolvate
1) (Enem) O bijuterie a fost tăiată sub forma unui poliedru convex cu 32 de fețe, dintre care 20 sunt hexaedre, iar restul sunt pentagonale. Această bijuterie va fi un cadou pentru o doamnă care își sărbătorește ziua de naștere, completând o vârstă al cărei număr este numărul vârfurilor acestui poliedru. Această doamnă completează:
a) 90 de ani
b) 72 de ani
c) 60 de ani
d) 56 de ani
e) 52 de ani
Soluţie:
Dă proprietatea 1 de poliedre convexe știm că:
Acum cum știm numărul de muchii este numărul de fețe, putem folosi relația Euler.
Deoarece vârsta pe care o finalizați este egală cu numărul de vârfuri, deci aceasta este de 60 de ani. Alternativa c.
2) (PUC-SP) Câte muchii are un poliedru convex cu fețe triunghiulare unde numărul de vârfuri este de trei cincimi numărul fețelor?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Soluţie:
Din proprietățile unui poliedru convex și din enunțul de exerciții avem:
Înlocuind aceste valori în relația Euler, avem următoarele:
Organizând ecuația anterioară și rezolvând ecuația în F, rezultă că:
Înlocuind valoarea numărului de fețe găsite în ecuația muchiilor, vom avea:
Alternativa b
de Robson Luiz
Profesor de matematică