O Diagrama Venn, cunoscută și sub numele de diagramă Venn-Euler, este o mod de a grafica un set, pentru aceasta folosim o linie închisă care nu are auto-intersecție și reprezentăm elementele mulțimii din interiorul acestei linii. Ideea diagramei este de a facilita înțelegerea în operațiuni de bază de set, precum: relație de incluziune și apartenență, uniune și intersecție, diferență și set complementar.
Citește și tu: Operații între numere întregi: cunoașteți proprietățile
Reprezentări în diagrama Venn
După cum se arată, diagrama Venn constă dintr-o linie închisă (care nu se împletește) pe care „așezăm” elementele setului în cauză, astfel încât să putem reprezintă unul sau mai multe seturi simultan. Vezi exemplele:
• Set unic
Vă putem reprezenta folosind o singură linie închisă, de exemplu, să reprezentăm mulțimea A = {1, 3, 5, 7, 9}:
• Între două seturi
Trebuie să facem două grafice ca cel pentru reprezentarea setului unic. Cu toate acestea, din operațiile cu mulțimi știm că: având în vedere două mulțimi, acestea se pot intersecta sau nu. Dacă cele două mulțimi nu se intersectează, ele sunt denumite
seturi disjuncte.Exemplul 1
Trasați, utilizând diagrama Venn, mulțimile A = {a, b, c, d, e, f} și B = {d, e f, g, h, i}.
Rețineți că intersecția este partea din diagramă care aparține celor două seturi, la fel ca în definiție.
A ∩ B = {d, e, f}
Exemplul 2
Traseți mulțimile C = {a, b, c, d} și D = {e, f, g, h}.
Rețineți că intersecția acestor seturi este goală, deoarece nu are niciun element care să aparțină simultan ambelor, adică:
C ∩ D = {}
• Între trei seturi
Ideea din spatele reprezentării folosind diagrama Venn pentru trei seturi este similară cu reprezentarea dintre două seturi. În acest sens, mulțimile pot fi disjuncte una câte una, adică nu au nicio intersecție; sau pot fi două-la-două disjuncte, adică doar două dintre ele se intersectează; sau toate se intersectează.
Exemplu
Reprezentarea, utilizând diagrama Venn, a mulțimilor A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} și C = {d, e, c, h}.
Vezi și: Notări importante setate
relația de membru
Relația de membru ne permite să spunem dacă un element aparține sau nu unui anumit set. Pentru aceasta, folosim simbolurile:
Luați în considerare mulțimea A = {a, b, c, d}. Analizându-l, ne dăm seama că g, de exemplu, nu îi aparține, așa că în diagrama Venn avem:
Relația de incluziune
Relația de incluziune ne permite să spunem dacă un set este sau nu conținut într-un alt set. Când un set este conținut într-un altul, spunem că este un subset. Pentru aceasta folosim simbolurile:
Un exemplu în acest sens este relația dintre setul de numere naturale și set de numere întregi. Știm că mulțimea numerelor naturale este un subset al mulțimii întregi, adică setul de naturale este cuprins în setul de numere întregi.
Operații între seturi
Operațiile de bază între două sau mai multe seturi sunt: unitate, intersecție și diferența dintre două seturi.
• Unirea
Unirea dintre două mulțimi se formează prin unirea elementelor conținute în fiecare mulțime, cu alte cuvinte: toate elementele celor două mulțimi sunt luate în considerare. Uite:
Luați în considerare mulțimile A = {1, 2, 3, 4} și B = {3, 4, 5, 6, 7}. Unirea dintre ei este dată de:
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
În diagrama Venn, am umbrit partea uniunii, adică ambele seturi, verificăm:
• Intersecție
Intersecția este un nou set numeric format din elemente care aparțin, simultan, altor mulțimi. În general, intersecția dintre mulțimi în diagrama Venn este dată de partea comună graficelor implicate. Uite:
Având în vedere din nou mulțimile A = {1, 2, 3, 4} și B = {3, 4, 5, 6, 7}, avem că elementele care aparțin mulțimii A și multimii B, simultan, sunt :
A ∩ B = {3,4}
• Diferența dintre două seturi
Luați în considerare două mulțimi C și D, diferența dintre ele (C - D) va fi o nouă mulțime formată din elemente aparținând lui C și care nu aparțin lui D. În general, putem reprezenta această diferență, folosind diagrama Venn, după cum urmează:
exerciții rezolvate
intrebarea 1 - (Ufal) În figura următoare, au fost reprezentate mulțimile nedisjuncte A, B și C. Regiunea colorată reprezintă setul:
a) C - (A ∩ B)
b) (A ∩ B) - C
c) (A U B) - C
d) A U B U C
e) A ∩ B ∩ C
Soluţie
Alternativa b.
Amintindu-ne operațiile cu mulțimi, știm că intersecția dintre două mulțimi în diagrama Venn este dată de partea comună acestora. Având în vedere mulțimile A, B și C și colorând intersecția mulțimii A ∩ B, avem:
Titlu: Soluția întrebarea 1 - partea 1
Rețineți că, dacă eliminăm elementele din setul C, obținem partea colorată solicitată de exercițiu, adică trebuie să evidențiem inițial intersecția și apoi să scoatem elementele din C.
(A ∩ B) - C
intrebarea 2 - (Uerj) Copiii de la o școală au participat la o campanie de vaccinare împotriva paraliziei infantile și a rujeolei. După campanie, s-a constatat că 80% dintre copii au primit vaccinul pentru paralizie, 90% au primit vaccinul împotriva rujeolei, iar 5% nu au primit niciunul.
Determinați procentul de copii din această școală care au primit ambele vaccinuri.
Soluţie
Deoarece procentul copiilor care au primit ambele vaccinuri este necunoscut, să-l numim inițial x. Amintiți-vă că nu trebuie să operăm cu simbolul%, ci să scrieți procentele exercițiului în forma lor zecimală sau fracționată.
80 % → 0,8
90% → 0,9
5% → 0,05
100% → 1
Pentru a afla numărul total de copii care au luat doar vaccinul de paralizie, am scăzut procentul verificat (80%) din procentul celor care au luat ambele (x) și același lucru ar trebui făcut pentru copiii care au luat doar vaccinul împotriva pojar. Prin urmare:
Alăturându-vă tuturor copiilor, procentul va fi de 100%, prin urmare:
0,9 - x + x + 0,8 - x + 0,05 = 1
1,75 - x = 1
- x = 1 - 1,75
(–1) · - x = - 0,75 · (–1)
x = 0,75
x = 75%
Prin urmare, 75% dintre copiii de la școală aveau ambele vaccinuri.
De L.do Robson Luiz
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm