O Planul Argand-Gauss este alcătuit din două axe: una verticală (cunoscută sub numele de axa imaginară) și una orizontală (cunoscută sub numele de axa reală). Este posibil reprezenta geometric numere complexecare sunt sub formă algebrică.
Prin această reprezentare geometrică, este posibil dezvolta unele concepte, cum ar fi modulul și argumentul a unui număr complex. Numerele complexe sunt reprezentate algebric prin z = a + bi, deci sunt reprezentate prin puncte (a, b), care se numește afix.
Citește și: Reprezentarea geometrică a sumei numerelor complexe
Reprezentarea geometrică a numerelor complexe
Planul complex, cunoscut și sub numele de planul Argand-Gauss, nu este altceva decât unAvion cartezian pentru numere complexe. În planul Argand-Gauss, este posibil să se reprezinte un număr complex sub formă de punct, cunoscut sub numele de afix. Odată cu dezvoltarea planului complex, există dezvoltare a geometrie analitică pentru numere complexe, ceea ce face posibilă dezvoltarea unor concepte importante precum modul și argumentul.
Un număr complex reprezentat în forma sa algebrică este z = a + bi, pe ce este partea reală și B este partea imaginară. Prin urmare, numerele complexe sunt reprezentate ca un punct (a, b). În planul Argand-Gauss, axa orizontală este axa părții reale, iar axa verticală este axa părții imaginare.
Afix
O punct pe plan reprezentând un număr complex se mai numește și afix. Există trei cazuri posibile de reprezentare: afixele imaginare, afixele reale și afixele imaginare pure.
afixele imaginare
Un afix este cunoscut ca imaginar atunci când numărul complex are atât un partea reală și partea imaginară diferită de zero. În acest caz, afixul este un punct din oricare dintre cele patru cadrane, în funcție de valorile lui a, b și semnele lor respective.
Exemplu:
Vezi reprezentarea numerelor complexe z1 = 2 + 3i, z2 = -3 - 4i, z3 = -2 + 2i și z4= 1 - 4i.
Vezi și: Proprietăți care implică numere complexe
afixe imaginare pure
Un număr complex este cunoscut ca un imaginar pur, când partea ta reală este egală cu zero, adică z = bi. Rețineți că, în acest caz, prima coordonată este întotdeauna zero, deci să lucrăm cu puncte de tip (0, b). Când se marchează în planul Argand-Gauss, un afix imaginar pur pur întotdeauna va fi un punct aparținând axei imaginare, adică la axa verticală.
Exemplu:
Vezi reprezentarea numerelor complexe z1 = 2i și z2= -3i.
adevărate afixe
Un număr complex este clasificat ca numar realcând partea imaginară este egală cu zero, adică z = a. În acest caz, a doua coordonată este întotdeauna zero, deci vom lucra cu puncte de tip (a, 0), deci partea imaginară este zero și afixele sunt conținute în axa reală a planului complex.
Exemplu:
Vezi reprezentarea numerelor complexe z1 = 2 și z2 = -4.
Modul de număr complex
Când se reprezintă un număr complex, fie P (a, b) afixul numărului complex z = a + bi. Cunoaștem modulul numărului complex a distanța de la punctul P la origine. Modulul unui număr complex z este reprezentat de | z |. Pentru a găsi valoarea | z |, folosim teorema lui Pitagora.
| z | ² = a² + b²
Putem reprezenta și prin:
Exemplu:
Găsiți modulul numărului complex z = 12 -5i.
| z | ² = 12² + (-5) ²
| z | ² 144 + 25
| z | ² = 169
| z | = √169
| z | = 13
De asemenea, accesați: Ce sunt numerele raționale?
argumentul numărului complex
Știm cum argument a unui număr complex O unghiul θ format din vectorul OP și axa reală. Argumentul unui număr este reprezentat de arg (z) = θ.
Pentru a găsi unghiul, folosim raporturi trigonometrice sinus si cosinus.
Pentru a găsi valoarea argumentului, cunoscând sinusul și cosinusul, doar consultați tabelul de valori pentru aceste rapoarte trigonometrice. De obicei, la examenele de admitere la facultate pe această temă, argumentul este un unghi remarcabil.
Exemplu:
Găsiți argumentul numărului complex z = 1 + i.
Mai întâi să calculăm modulul lui z.
| z | ² = 1² + 1²
| z | ² = 1 + 1
| z | ² = 2
| z | = √2
Cunoscând | z |, putem calcula sinus si cosinus a unghiului.
Unghiul care are sinus și cosinus cu valorile găsite este de 45º.
exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - Care este argumentul numărului complex z = √3 + i?
A) 30
B) 45
C) 60
D) 90º
E) 120
Rezoluţie
Alternativa C.
Știm că a = √3 și b = 1, deci:
Intrebarea 2 - În următorul plan complex, au fost reprezentate unele numere. Analizând planul, putem spune că punctele sunt reprezentări ale numerelor imaginare pure:
A) M, N și I.
B) P și I.
C) L și G.
D) O, I, G.
E) K, J și L.
Rezoluţie
Alternativa B.
Pentru a identifica un număr imaginar pur în planul complex, este necesar ca acesta să fie deasupra axei verticale, care, în acest caz, sunt punctele P și I.
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm
