O triunghi dreptunghic primește acest nume pentru că unul dintre unghiurile sale are o măsură de 90º, adică este un unghi drept. Fiind unul dintre cele mai studiate poligoane din geometrie plană, a fost posibil să se vadă unele relații între unghiuri și, de asemenea, între laturile acestei figuri.
O Teorema lui Pitagora, de exemplu, a fost dezvoltat după realizarea că există o relație între măsurătorile laturilor triunghiului. Astfel, cunoscând măsurătorile a două laturi ale triunghiului, este posibil să se calculeze valoarea celei de-a treia laturi. Teorema lui Pitagora spune că suma pătratului picioarelor este întotdeauna egală cu pătratul hipotenuzei.
Pe lângă teorema lui Pitagora, o altă zonă importantă dezvoltată prin studiile acestui triunghi a fost trigonometrie, în care se dezvoltă raporturile dintre laturile triunghiului, cunoscute sub numele de sinus, cosinus și tangentă. Prin aceste motive, s-a observat că există o proporție între măsurătorile laturilor triunghiurilor dreptunghiulare care au unghiuri egale.
Citește și: Care sunt punctele remarcabile ale unui triunghi?
Caracteristicile triunghiului dreptunghiular
Triunghiul dreptunghiular este a poligon care are trei laturiși trei unghiuri, iar unul dintre aceste unghiuri este drept, adică are 90º. Celelalte două unghiuri sunt acute, adică mai puțin de 90º. Cea mai lungă parte, care este întotdeauna opusă unghiului de 90 °, este cunoscută sub numele de ipotenuză, iar celelalte două sunt numite pecariile.
Triunghiul dreptunghiular păstrează toate proprietățile cunoscute ale triunghiului comun, cum ar fi faptul că suma unghiurilor interne să fie egal cu 180º. Deoarece suma este întotdeauna 180º și unul dintre unghiurile sale are deja 90º, putem spune că celelalte două unghiuri sunt întotdeauna complementare, adică suma lor este, de asemenea, egală cu 90º.
a și b → sâni
c → hipotenuză
Perimetrul triunghiului dreptunghiular
Perimetrul oricărui poligon este lungimea sumei tuturor laturilor sale. Deci, pentru a calcula perimetrul triunghiului dreptunghiular, adăugați doar laturile sale.
P = a + b + c
aria triunghiului dreptunghiular
THE aria triunghiului dreptunghi, precum și a triunghi oricare este jumătate din produs între bază și înălțime. Ceea ce este special la triunghiul dreptunghiular este că una dintre picioare coincide cu înălțimea sa, deoarece acestea sunt perpendiculare una pe cealaltă, deci pentru a calcula aria, înmulțim picioarele și împărțim rezultatul la două.
Exemplu:
Calculați perimetrul și aria triunghiului dreptunghiular de mai jos știind că laturile sale sunt date în centimetri.
P = 8 + 15 + 17
P = 40 cm
Acum să calculăm aria:
Vezi și: Calculul ariei unui triunghi folosind unghiuri
teorema lui Pitagora
Cea mai cunoscută teoremă din matematică este, fără îndoială, teorema lui Pitagora. Din această teoremă, a fost posibil să vedem că laturile unui triunghi dreptunghi sunt legate în felul următor: având în vedere orice triunghi dreptunghiular, suma pătratului picioarelor este egală cu hipotenuza pătrată.
a² + b² = c²
a și b → sâni
c → hipotenuză
Din această teoremă, este posibil să se găsească valoarea ambelor părți ale unui triunghi dreptunghi, atâta timp cât sunt cunoscute celelalte două.
Exemplu:
Care este valoarea hipotenuzei triunghiului dreptunghiular de mai jos știind că măsurătorile sale sunt date în centimetri?
Aplicând teorema lui Pitagora, trebuie să:
6² + 8² = x²
36 + 64 = x²
100 = x²
x² = 100
x = √100
x = 10 cm
Pentru a afla mai multe despre această relație importantă, citiți textul: TEorema lui Pitagora.
Trigonometria în triunghiul dreptunghiular
Numele de trigonometrie se referă deja la obiectul său de studiu:
- tri → trei;
- gono → unghi;
- metrică → metrică sau măsură.
Astfel, trigonometria este aria Matematicii care studiază relația dintre măsurătorile unghiurilor triunghiului și aici ne vom lipi de triunghiul dreptunghiular. Trigonometria studiază raportul dintre laturile triunghiului în funcție de acesta unghi. Cu aceasta, a fost posibil să se dezvolte concepte importante, care sunt motivele sinus, cosinus și tangent. Merită menționat faptul că alte motive trigonometrice au fost dezvoltate odată cu aprofundarea studiului trigonometriei în cercul trigonometric.
Înainte de a înțelege care sunt fiecare dintre aceste rapoarte, este important să înțelegeți ce este o latură opusă și ce este o latură adiacentă sub un unghi de triunghi.
După cum am văzut, ipotenuză este latura reprezentată de segmentul AB, deoarece este întotdeauna cea mai lungă latură a triunghiului și, de asemenea, orientare laterală unghi de 90º. Celelalte părți sunt cunoscute sub numele de picioare. În funcție de unghiul pe care îl luăm ca referință, latura poate fi opusă sau adiacentă.
Pecarul este cunoscut ca opus atunci când se confruntă cu unghiul. Unghiul opus lateral ꞵ, de exemplu, este partea AC; pe de altă parte, latura care este opusă unghiului lateral este partea BC.
O pecarul este cunoscut ca adiacent când el formează unghiul lângă hipotenuză. Rețineți că unghiul ꞵ este între latura BC și AB. Deoarece AB este hipotenuza triunghiului dreptunghiular, atunci AB este un picior adiacent unghiului ꞵ. Folosind același raționament, este posibil să vedem că lado AC este partea adiacentă a unghiului ɑ.
Înțelegând fiecare parte a triunghiului, este posibil să înțelegem raporturi trigonometrice.
Pentru a aplica rapoarte trigonometrice, trebuie să cunoaștem unghiurile remarcabile, adică unghiurile de 30º, 45º și 60º. Majoritatea problemelor de examen și de admitere sunt legate de aceste unghiuri și, prin urmare, este necesar să se cunoască valorile motivelor pentru fiecare dintre ele.
Vezi tabelul cu valorile sinusului, cosinusului și tangentei pentru unghiurile notabile:
Cunoscând valoarea raporturilor trigonometrice ale triunghiului prin intermediul unei laturi și a unui unghi, este posibil să se găsească toate laturile unui triunghi dreptunghiular din trigonometrie.
Exemplu:
Găsiți valoarea lui x.
Pentru a găsi valoarea lui x, să ne uităm la unghiul dat. Rețineți că este adiacent laturii din care știm măsura, adică AC este adiacent unghiului de 30 °. Apoi, vom aplica raportul tangent, care leagă latura adiacentă și hipotenuza. De asemenea, uitându-ne la tabel, știm că cosinusul lui 30 este egal cu √3 / 2.
De asemenea, accesați: 4 greșeli cele mai frecvente în trigonometrie de bază
exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - (IFG) Teodolitul este un instrument de precizie pentru măsurarea unghiurilor orizontale și unghiurilor verticale, utilizat în lucrările de construcții. O companie a fost angajată să picteze o clădire cu patru etaje. Pentru a afla suprafața totală care trebuie pictată, ea trebuie să găsească înălțimea clădirii. O persoană poziționează instrumentul la 1,65 metri înălțime, găsind un unghi de 30 °, așa cum se arată în figură. Presupunând că teodolitul se află la 13√3 metri distanță de clădire, care este înălțimea, în metri, a clădirii de vopsit?
A) 11.65
B) 12,65
C) 13,65
D) 14,65
E) 15,65
Rezoluţie
Alternativa D.
De vreme ce dorim să găsim latura opusă unghiului de 30 °, știind că distanța de 13√3, care este distanța de la teodolit la clădire, este partea adiacentă unghiului de 30 °, deci vom folosi tangenta:
Acum vom adăuga 13 + 1,65 = 14,65 metri înălțime.
Intrebarea 2 - Pentru a efectua plantarea pe proprietatea sa, un fermier și-a împărțit terenul cultivabil în formă dreptunghiulară pe jumătate, pe diagonală, formând două triunghiuri dreptunghiulare. În această diviziune, jumătate din teren va fi împrejmuită cu sârmă, folosind 4 fire. Știind că dimensiunile terenului sunt 20 de metri lățime și 21 de metri lungime, cât se va cheltui pe sârmă?
A) 29 de metri
B) 70 de metri
C) 140 de metri
D) 210 metri
E) 280 de metri
Rezoluţie
Alternativa E.
Mai întâi să găsim diagonala terenului, care este ipotenuza triunghiului dreptunghiular. Pentru a face mai ușor, vom face imaginea situației:
Deci, trebuie să:
d² = 20² + 21²
d² = 400 + 441
d² = 841
d = √841
d = 29
Pentru a merge în jur, trebuie să facem 29 + 20 + 21 = 70 de metri, așa cum vor fi 4 ture, 70 · 4 = 280 de metri.
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-retangulo.htm
