Factorizarea este un proces utilizat în matematică care constă în reprezentarea unui număr sau a unei expresii ca produs de factori.
Scriind un polinom precum înmulțirea altor polinoame, putem simplifica adesea expresia.
Verificați mai jos tipurile de factorizare polinomială:
Factor comun în dovezi
Folosim acest tip de factorizare atunci când există un factor care se repetă în toți termenii polinomului.
Acest factor, care poate conține cifre și litere, va fi plasat în fața parantezelor.
În interiorul parantezelor va fi rezultatul împărțirii fiecărui termen al polinomului la factorul comun.
În practică, să facem următorii pași:
1º) Identificați dacă există un număr care împarte toți coeficienții polinomului și literele care se repetă în toți termenii.
2º) Puneți factorii comuni (număr și litere) în fața parantezelor (în evidență).
3) Plasați între paranteze rezultatul împărțirii fiecărui factor al polinomului la factorul care este în evidență. În cazul literelor, folosim regula împărțirii puterilor aceleiași baze.
Exemple
a) Care este forma factorizată a polinomului 12x + 6y - 9z?
În primul rând, identificăm faptul că numărul 3 împarte toți coeficienții și că nu există nici o literă care să se repete.
Punem numărul 3 în fața parantezelor, împărțim toți termenii la trei și rezultatul îl vom pune în paranteze:
12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)
b) Factorul 2a2b + 3a3c - a4.
Deoarece nu există niciun număr care să împartă 2, 3 și 1 în același timp, nu vom pune niciun număr în fața parantezelor.
Scrisoarea se repetă în toți termenii. Factorul comun va fi 2, care este cel mai mic exponent al în expresie.
Împărțim fiecare termen al polinomului la 2:
Al 2-lea2 b:2 = Al doilea2 - 2 b = 2b
A treia3c:2 = Al treilea3 - 2 c = 3ac
4: A2 =2
Am pus 2 în fața parantezelor și a rezultatelor diviziunilor din paranteze:
Al 2-lea2b + 3a3c - a4 =2 (2b + 3ac - a2)
grupare
În polinomul care nu există un factor care se repetă în toți termenii, putem folosi factorizarea prin grupare.
Pentru aceasta, trebuie să identificăm termeni care pot fi grupați după factori comuni.
În acest tip de factorizare, punem în evidență factorii comuni ai grupărilor.
Exemplu
Factorizați polinomul mx + 3nx + my + 3ny
Termenii mx și 3nx are ca factor comun X. deja termenii Ale mele și 3ny au ca factor comun y.
Punând în evidență acești factori:
x (m + 3n) + y (m + 3n)
Rețineți că (m + 3n) se repetă acum și în ambii termeni.
Punând-o din nou în evidență, găsim forma factorizată a polinomului:
mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)
Trinomialul pătrat perfect
Trinomialele sunt polinoame cu 3 termeni.
Trinomiile pătrate perfecte a2 + 2ab + b2 si2 - 2ab + b2 rezultat din produsul remarcabil de tip (a + b)2 și (a - b)2.
Astfel, factorizarea trinomului pătrat perfect va fi:
2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (pătrat din suma a doi termeni)
2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (pătratul diferenței de doi termeni)
Pentru a afla dacă un trinom este într-adevăr un pătrat perfect, facem următoarele:
1º) Calculați rădăcina pătrată a termenilor care apar la pătrat.
2) Înmulțiți valorile găsite cu 2.
3) Comparați valoarea găsită cu termenul care nu are pătrate. Dacă sunt egali, este un pătrat perfect.
Exemple
a) Factorizați polinomul x2 + 6x + 9
În primul rând, trebuie să testăm dacă polinomul este un pătrat perfect.
√x2 = x și √9 = 3
Înmulțind cu 2, găsim: 2. 3. x = 6x
Deoarece valoarea găsită este egală cu termenul care nu este pătrat, polinomul este perfect pătrat.
Astfel, factorizarea va fi:
X2 + 6x + 9 = (x + 3)2
b) Factorizați polinomul x2 - 8xy + 9y2
Testarea dacă este un trinom pătrat perfect:
√x2 = x și √9y2 = 3y
Realizarea multiplicării: 2. X. 3y = 6xy
Valoarea găsită nu se potrivește cu termenul polinomului (8xy ≠ 6xy).
Deoarece nu este un trinom pătrat perfect, nu putem folosi acest tip de factorizare.
Diferența dintre două pătrate
Pentru a factoriza polinoame de tip a2 - B2 folosim produsul remarcabil al sumei și al diferenței.
Astfel, factorizarea polinoamelor de acest tip va fi:
2 - B2 = (a + b). (a - b)
Pentru a lua în calcul, trebuie să calculăm rădăcina pătrată a celor doi termeni.
Apoi scrieți produsul din suma valorilor găsite și diferența dintre aceste valori.
Exemplu
Factorizați binomul 9x2 - 25.
Mai întâi, găsiți rădăcina pătrată a termenilor:
√9x2 = 3x și √25 = 5
Scrieți aceste valori ca produs al sumei și al diferenței:
9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)
cub perfect
polinoamele a3 + Al treilea2b + 3ab2 + b3 si3 - al treilea2b + 3ab2 - B3 rezultat din produsul remarcabil de tip (a + b)3 sau (a - b)3.
Astfel, forma factorizată a cubului perfect este:
3 + Al treilea2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
3 - al treilea2b + 3ab2 - B3 = (a - b)3
Pentru a calcula astfel de polinoame, trebuie să calculăm rădăcina cubică a termenilor în cub.
Ulterior, este necesar să confirmați că polinomul este un cub perfect.
Dacă da, cubulăm suma sau scăderea valorilor rădăcinilor cubice găsite.
Exemple
a) Factorizați polinomul x3 + 6x2 + 12x + 8
În primul rând, să calculăm rădăcina cubică a termenilor cubici:
3√ x3 = x și 3√ 8 = 2
Apoi confirmați dacă este un cub perfect:
3. X2. 2 = 6x2
3. X. 22 = 12x
Deoarece termenii găsiți sunt aceiași cu termenii din polinom, atunci este un cub perfect.
Astfel, factorizarea va fi:
X3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
b) Factorizați polinomul a3 - 92 + 27 - 27
Mai întâi să calculăm rădăcina cubică a termenilor cubici:
3la3 = a și 3√ - 27 = - 3
Apoi confirmați dacă este un cub perfect:
3.2. (-3) = - al 9-lea2
3.. (- 3)2 = 27
Deoarece termenii găsiți sunt aceiași cu termenii din polinom, atunci este un cub perfect.
Astfel, factorizarea va fi:
3 - 92 + 27a - 27 = (a - 3)3
Citește și tu:
- Potențierea
- Polinomiale
- Funcția polinomială
- numere prime
Exerciții rezolvate
Factorizați următoarele polinoame:
a) 33x + 22y - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x - 8c + mx - 2mc
d) 49 -2
e) al 9-lea2 + 12 + 4
a) 11. (3x + 2y - 5z)
b) 6n. (X y)
c) (x - 2c). (4 + m)
d) (7 + a). (7 - a)
e) (3 + 2)2
Vezi și:
- Expresii algebrice
- Exerciții privind expresiile algebrice
- Produse notabile
- Produse notabile - Exerciții
