Teorema fundamentală a algebrei pentru ecuații polinomiale garantează că „fiecare grad polinom n≥ 1 are cel puțin o rădăcină complexă ". Dovada acestei teoreme a fost făcută de matematicianul Friedrich Gauss în 1799. Din aceasta, putem demonstra teorema descompunerii polinomiale, ceea ce garantează că orice polinom poate fi descompus în factori de gradul I. Luați următorul polinom p (x) de grad n ≥ 1 șiNu ≠ 0:
p (x) = aNu XNu +n-1 Xn-1 +... +1X1 +0
Prin teorema fundamentală a algebrei, putem afirma că acest polinom are cel puțin o rădăcină complexă. tu1, astfel încât p (u1) = 0. O Teorema lui D'Alembert la diviziunea polinoamelor afirmă că dacă p (u1) = 0, atunci p (x) este divizibil cu (x - u1), rezultând un coeficient ce1(X), care este un polinom de grad (n - 1), ceea ce ne face să spunem:
p (x) = (x - u1). ce1(X)
Din această ecuație, este necesar să evidențiem două posibilități:
Dacă u = 1 și ce1(X) este un polinom de grad (n - 1), atunci ce1(X) are grad 0. Ca coeficient dominant al p (x) é Nu, ce1(X) este un polinom constant de tip ce1(X)=Nu. Deci avem:
p (x) = (x - u1). ce1(X)
(x) = (x - u1).Nu
p (x) = aNu . (x - u1)
Dar dacă u ≥ 2, apoi polinomul ce1 are grad n - 1 ≥ 1 iar teorema fundamentală a algebrei se menține. Putem spune că polinomul ce1 are cel puțin o rădăcină Nu2, ceea ce ne determină să spunem asta ce1 poate fi scris ca:
ce1(x) = (x - u2). ce2(X)
Dar cum p (x) = (x - u1). ce1(X), îl putem rescrie ca:
p (x) = (x - u1). (x - u2). ce2(X)
Repetând succesiv acest proces, vom avea:
p (x) = aNu. (x - u1). (x - u2)… (X - uNu)
| Astfel, putem concluziona că fiecare ecuație polinomială sau polinomială p (x) = 0 de grad n≥ 1 proprii exact Nu rădăcini complexe. |
Exemplu: Fi p (x) un polinom de grad 5, astfel încât rădăcinile sale sunt – 1, 2, 3, – 2 și 4. Scrieți acest polinom descompus în factori de gradul 1, luând în considerare coeficient dominant egal cu 1. Trebuie scris în formă extinsă:
dacă – 1, 2, 3, – 2 și 4 sunt rădăcini ale polinomului, deci produsul diferențelor de X pentru fiecare dintre aceste rădăcini rezultă p (x):
p (x) = aNu. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
Dacă coeficientul dominant Nu = 1, avem:
p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x4 - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
p (x) = x5 - 6x4 + x³ + 36x² - 20x - 48
De Amanda Gonçalves
Absolvent în matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm