Matrice inversă: ce este, cum să găsești exerciții

Conceptul de matrice inversă se apropie foarte mult de conceptul inversului unui număr. Să ne amintim că inversul unui număr Nu este numărul Nu^-1, unde produsul dintre cele două este egal cu elementul neutru al multiplicare, adică numărul 1. Deja inversul matricei M este matricea M^-1, unde produsul M · M^-1este egal cu matricea de identitate I_Nu,care nu este altceva decât elementul neutru al multiplicării matricei.

Pentru ca matricea să aibă un invers, acesta trebuie să fie pătrat și, în plus, determinantul său trebuie să fie diferit de zero, altfel nu va exista invers. Pentru a găsi matricea inversă, folosim ecuația matricei.

Citește și tu: Matricea triunghiulară - tip special de matrice pătrată

Pentru ca o matrice să aibă un invers, aceasta trebuie să fie pătrată.

matrice de identitate

Pentru a înțelege ce este matricea inversă, este mai întâi necesar să cunoaștem matricea identității. Cunoaștem ca matrice de identitate matricea pătrată I_Nu unde toate elementele diagonalei principale sunt egale cu 1 și ceilalți termeni sunt egali cu 0.

instagram story viewer

THE matricea de identitate este elementul neutru al multiplicării între matrici., adică dat un sediu M de ordinul n, produsul dintre matricea M și matricea I_Nu este egal cu matricea M.

M · I_Nu = M

Cum se calculează matricea inversă

Pentru a găsi matricea inversă a lui M, este necesar să se rezolve o ecuație a matricei:

M · M^-1 = Eu_Nu

Exemplu

Găsiți matricea inversă a lui M.

Deoarece nu cunoaștem matricea inversă, să reprezentăm această matrice algebric:

Știm că produsul dintre aceste matrice trebuie să fie egal cu I₂:

Acum să rezolvăm ecuația matricei:

Este posibil să separați problema în două sisteme de ecuații. Primul folosește prima coloană a matricei M · M^-1 și prima coloană a matricei de identitate. Deci, trebuie să:

Pentru a rezolva sistemul, să izolăm₂₁ în ecuația II și înlocuiți în ecuația I.

Înlocuind în ecuația I, trebuie să:

Cum găsim valoarea unui₁₁, apoi vom găsi valoarea unui₂₁:

Cunoașterea valorii unui₂₁ si₁₁, acum vom găsi valoarea celorlalți termeni prin configurarea celui de-al doilea sistem:

izolând₂₂ în ecuația III, trebuie să:

A treia₁₂ + 1₂₂= 0

₂₂ = - al treilea₁₂

Înlocuind în ecuația IV:

Al 5-lea₁₂ + Al doilea₂₂=1

Al 5-lea₁₂ + 2 · (- al treilea₁₂) = 1

Al 5-lea₁₂ - 6₁₂ = 1

- A₁₂ = 1 ( – 1)

₁₂ = – 1

Cunoașterea valorii unui₁₂, vom găsi valoarea unui₂₂:

₂₂ = - al treilea₁₂

₂₂ = – 3 · ( – 1)

₂₂ = 3

Acum, că știm toți termenii matricei M^-1, este posibil să o reprezentăm:

Citește și: Adunarea și scăderea matricilor

Proprietăți ale matricei inverse

Există proprietăți care rezultă din definirea unei matrice inverse.

Prima proprietate: inversul matricei M^-1 este egal cu matricea M. Inversul unei matrice inverse este întotdeauna matricea însăși, adică (M^-1)^-1 = M, pentru că știm că M^-1 · M = I_Nu, deci M^-1 este inversul lui M și, de asemenea, M este inversul lui M^-1.
A 2-a proprietate: inversul unei matrici identitare este el însuși: I^-1 = I, deoarece produsul matricei de identitate rezultă prin el însuși în matricea de identitate, adică I_Nu · Eu_Nu = Eu_Nu.
A treia proprietate: inversul produs din două matricetu esti este egal cu produsul inverselor:

(M × H)^-1 = M^-1· A^-1.

A 4-a proprietate: o matrice pătrată are invers dacă și numai dacă este determinant este diferit de 0, adică det (M) ≠ 0.

exerciții rezolvate

1) Având în vedere matricea A și matricea B, știind că sunt inverse, atunci valoarea lui x + y este:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Rezoluţie:

Alternativă d.

Construirea ecuației:

A · B = I

Prin a doua coloană, prin egalarea termenilor, trebuie să:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

Izolarea x în I:

Se înlocuiește ecuaţie II, trebuie:

Cunoscând valoarea lui y, vom găsi valoarea lui x:

Acum să calculăm x + y:

intrebarea 2

O matrice are un invers numai atunci când determinantul său este diferit de 0. Privind matricea de mai jos, care sunt valorile x care fac ca matricea să nu suporte invers?