La expresii algebrice sunt acele expresii matematice care au cifre și litere, cunoscută și sub numele de variabile. Folosim litere pentru a reprezenta valori necunoscute sau chiar pentru a analiza comportamentul expresiei în funcție de valoarea acestei variabile. Expresiile algebrice sunt destul de frecvente în studiul ecuații și în scrierea formulelor în matematică și domenii conexe.
Dacă expresia algebrică are un singur termen algebric, este cunoscut sub numele de monomial; atunci când are mai multe, se numește polinom. De asemenea, este posibil să se calculeze operații algebrice, care sunt operațiile dintre expresiile algebrice.
Citește și: Fracții algebrice - expresii care prezintă cel puțin o necunoscută în numitor
Ce este o expresie algebrică?
Definim ca expresie algebrică a expresie care conține litere și cifre, separate prin operații matematice de bază, precum adunarea și multiplicarea. Expresiile algebrice au o mare importanță pentru cel mai avansat studiu al matematicii, făcând posibil calculul valorilor necunoscute în ecuații sau chiar studiul funcțiilor. Să ne uităm la câteva exemple de expresii algebrice:
a) 2x²b + 4ay² + 2
b) 5m³n8
c) x² + 2x - 3
Expresiilor algebrice li se dau nume particulare în funcție de câți termeni algebrici au.
monomii
O expresie algebrică este cunoscută sub numele de monomiu atunci când are doar un termen algebric. Un termen algebric este unul care are litere și cifre separate doar printr-o multiplicare între ele.
Un monomiu este împărțit în două părți: o coeficient, care este numărul care înmulțește litera și parte literală, care este variabila cu exponentul ei.
Exemple:
a) 2x³ → coeficientul este egal cu 2, iar partea literală este egală cu x³.
b) 4ab → coeficientul este egal cu 4 iar partea literală este egală cu ab.
c) m²n → coeficientul este egal cu 1 și partea literală este egală cu m²n.
Când părțile literale ale două monomii sunt aceleași, ele sunt cunoscute ca monomii similari.
Exemple:
a) 2x³ și 4x³ sunt similare.
b) 3ab² și -7ab² sunt similare.
c) 2mn și 3mn² Nu Sunt asemănătoare.
d) 5y și 5x Nu Sunt asemănătoare.
Vezi și: Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice - cum se calculează?
Polinomiale
Când expresia algebrică are mulți termeni algebrici, este cunoscută sub numele de polinom. Un polinom nu este altceva decât suma sau diferența dintre monomii. Este destul de comun de utilizat polinomiale în studiul ecuațiilor și funcțiilor sau în geometrie analitică, pentru a descrie ecuațiile elementelor geometriei.
Exemple:
a) 2x² + 2x + 3
b) 2ab - 4ab² + 2a - 4b + 1
c) 5mn - 3
d) 4y² + x³ - 4x + 8
Simplificarea expresiilor algebrice
Într-o expresie algebrică, atunci când există termeni similari, este posibilă simplificarea acestei expresii. prin operații cu coeficienții unor termeni similari.
Exemplu:
5xy² + 10x - 3xy + 4x²y - 2x²y² + 5x - 3xy + 9xy² - 4x²y + y
Pentru simplitate, să identificăm termeni similari, adică termeni care au aceeași parte literală.
5xy²+ 10x- 3xy+ 4x²y - 2x²y² + 5x- 3xy+ 9xy² – 5x²y
Vom efectua operațiuni între termeni similari, apoi:
5xy² + 9xy² = 14xy²
10x + 5x = 15x
-3xy - 3xy = -6xy
4x²y -5x²y = -1x²y = -x²y
Termenul -2x²y² nu are un termen similar cu acesta, astfel încât expresia algebrică simplificată va fi:
-2x²y² + 14xy² + 15x - 6xy -x²y
operații algebrice
Adăugarea sau scăderea expresiilor algebrice nu este altceva decât simplificarea expresiei, deci este posibil să funcționăm numai cu termeni algebrici care sunt similari. Cu toate acestea, în multiplicare, este necesar să se utilizeze proprietatea distributivă între termeni, așa cum se arată în următoarele exemple:
Exemplu de adăugare:
(2x² + 3xy - 5) + (3x² - xy + 2)
Deoarece este un adaos, putem elimina pur și simplu parantezele, fără a modifica niciunul dintre termenii:
2x² + 3xy - 5 + 3x² - xy + 2
Acum simplificăm expresia:
5x² + 2xy - 3
Exemplu de scădere:
(2x² + 3xy - 5) - (3x² - xy + 2)
Pentru a elimina parantezele, este necesar să inversați semnul fiecărui termen algebric în a doua expresie:
2x² + 3xy - 5 –3x² + xy - 2
Acum simplificăm expresia:
- x² + 4xy - 7
Exemplu de multiplicare:
(2x² + 3xy - 5) (3x² - xy + 2)
Aplicând proprietatea distributivă, vom găsi:
6x4 - 2x³y + 4x² + 9x³y - 3x²y² + 6xy - 15x² - 5xy + 10
Acum simplificăm expresia:
6x4 + 7x³y - 11x² –3x²y² + xy + 10
De asemenea, accesați: Cum se simplifică fracțiile algebrice?
Valoarea numerică a expresiilor algebrice
Când cunoaștem valoarea variabilă a unei expresii algebrice, putem găsi valoarea ei numerică. Valoarea numerică a expresiei algebrice nu este altceva decât rezultatul final atunci când înlocuim variabila cu o valoare.
Exemplu:
Având în vedere expresia x³ + 4x² + 3x - 5, care este valoarea numerică a expresiei când x = 2.
Pentru a calcula valoarea expresiei, să înlocuim x cu 2.
2³ + 4 · 2² + 3 · 2 – 5
8 + 4 · 4 + 6 – 5
8 + 16 + 6 – 5
30 – 5
25
Exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - Expresia algebrică care reprezintă perimetrul următorului dreptunghi este:
A) 5x - 5
B) 10x - 10
C) 5x + 5
D) 8x - 6
E) 3x - 2
Rezoluţie
Alternativa B.
Pentru a calcula perimetrul, să adăugăm cele patru laturi împreună. Știind că laturile paralele sunt aceleași, trebuie să:
P = 2 (2x - 4) + 2 (3x - 1)
P = 4x - 8 + 6x - 2
P = 10x - 10
Intrebarea 2 - (Enem 2012) O căptușeală dreptunghiulară din țesătură are pe etichetă informația că se va micșora după prima spălare, păstrându-și totuși forma. Următoarea figură arată măsurătorile originale ale plafonului și dimensiunea de contracție (x) în lungime și (y) în lățime. Expresia algebrică care reprezintă aria tavanului după ce a fost spălată este (5 - x) (3 - y).
În aceste condiții, zona pierdută a căptușelii, după prima spălare, va fi exprimată prin:
A) 2xy
B) 15 - 3x
C) 15 - 5y
D) -5y - 3x
E) 5y + 3x - xy
Rezoluţie
Alternativa E.
Pentru a calcula aria unui dreptunghi, calculăm aria găsind produsul între baza și înălțimea dreptunghiului. Analizând partea lipsă a tavanului, este posibil să o împărțim în două dreptunghiuri, dar există o regiune care aparține celor două dreptunghiuri, așa că va trebui să scădem zona din această regiune.
Cel mai mare dreptunghi are baza 5 și înălțimea y, deci aria sa este dată de 5y. Celălalt triunghi are baza x și înălțimea 3, deci aria sa este dată de 3x. Regiunea care aparține celor două dreptunghiuri simultan are baza x și înălțimea y, așa că, deoarece este numărată în cele două dreptunghiuri, să o scădem din suma ariilor. Astfel, zona pierdută este dată de expresia algebrică:
5y + 3x - xy
De Raul Rodrigues Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/expressao-algebrica.htm