Știm cum polinom o expresie care indică suma algebrică a monomiilor care nu sunt similare, adică polinomul este unu expresie algebrica între monomii. Monomiul este un termen algebric care are un coeficient și o parte literală.
Când există termeni similari între polinoame, este posibil să efectuați reducerea termenilor săi în plus și / sau scăderea a două polinoame. De asemenea, este posibil să se înmulțească două polinoame prin proprietatea distributivă. Împărțirea se realizează folosind metoda tastelor.
Citește și: Ecuația polinomială - Ecuația caracterizată prin faptul că are un polinom egal cu 0
Ce sunt monomiile?
Pentru a înțelege ce este un polinom, este important să înțelegem mai întâi semnificația unui monom. O expresie algebrică este cunoscută sub numele de monomiu atunci când are cifre și litere și exponenții lor separate numai prin multiplicare. Numărul este cunoscut sub numele de coeficient, iar literele și exponenții lor sunt cunoscute ca parte literală.
Exemple:
2x² → 2 este coeficientul; x² este partea literală.
√5ax → √5 este coeficientul; toporul este partea literală.
b³yz² → 1 este coeficientul; b³yz² este partea literală.
Ce este un polinom?
Un polinom nu este altceva decât suma algebrică a monomiilor, adică sunt mai mulți monomi separați prin adunare sau scădere unul de altul.
Exemple:
ax² + cu + 3
5c³d - 4ab + 3c²
-2ab + b - 3xa
În general, un polinom poate avea mai mulți termeni, este reprezentat algebric prin:
NuXNu +(n-1) X(n-1) +... +2x² + a1x + a
Vezi și: Care sunt clasele de polinoame?
gradul unui polinom
Pentru a găsi gradul polinomului, să-l separăm în două cazuri, când are o singură variabilă și când are mai multe variabile. Gradul polinomului este dat de gradul celui mai mare dintre monomii săi în ambele cazuri.
Este destul de obișnuit să lucrați cu un polinom care are o singură variabilă. Când se întâmplă asta, O monomiu mai mare grad care indică gradul a polinomului este egal cu cel mai mare exponent al variabilei:
Exemple:
Polinoame cu variabilă unică
a) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → rețineți că variabila este x, iar cel mai mare exponent pe care îl are este 3, deci acesta este un polinom de gradul 3.
b) 2y5 + 4y² - 2y + 8 → variabila este y, iar cel mai mare exponent este 5, deci acesta este un polinom de grad 5.
Când polinomul are mai multe variabile într-un monomiu, pentru a găsi gradul acestui termen, este necesar adăuga-dacă gradul exponenților fiecărei variabile. Astfel, gradul polinomului, în acest caz, este încă egal cu gradul celui mai mare monomiu, dar este necesar să avem grijă să adăugăm exponenții variabilelor fiecărui monom.
Exemple:
a) 2xy + 4x²y³ - 5y4
Analizând partea literală a fiecărui termen, trebuie să:
xy → gradul 2 (1 + 1)
x²y³ → gradul 5 (2 + 3)
y³ → gradul 3
Rețineți că cel mai mare termen are gradul 5, deci acesta este un polinom de gradul 5.
b) 8a²b - ab + 2a²b²
Analizând partea literală a fiecărui monomiu:
a²b → gradul 3 (2 + 1)
ab² → gradul 2 (1 + 1)
a²b² → gradul 4 (2 + 2)
Astfel, polinomul are gradul 4.
Adăugarea de polinoame
Pentru adaos între două polinoame, să realizăm reducerea monomilor similari. Două monomii sunt similare dacă au părți literale egale. Când se întâmplă acest lucru, este posibil să simplificăm polinomul.
Exemplu:
Fie P (x) = 2x² + 4x + 3 și Q (x) = 4x² - 2x + 4. Găsiți valoarea lui P (x) + Q (x).
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Găsirea unor termeni similari (care au aceleași părți literale):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Acum să adăugăm monomiile similare:
(2 + 4) x² + (4-2) x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Scădere polinomială
Scăderea nu este mult diferită de adunare. Detaliul important este că mai întâi trebuie să scriem polinomul opus înainte de a efectua simplificarea unor termeni similari.
Exemplu:
Date: P (x) = 2x² + 4x + 3 și Q (x) = 4x² - 2x + 4. Calculați P (x) - Q (x).
Polinomul -Q (x) este opusul lui Q (x), pentru a găsi opusul lui Q (x), trebuie doar să inversăm semnul fiecăruia dintre termenii săi, deci trebuie să:
-Q (x) = -4x² + 2x - 4
Apoi vom calcula:
P (x) + (-Q (x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
Simplificând termeni similari, avem:
(2 - 4) x² + (4 + 2) x + (3 - 4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x - 1
Înmulțirea polinomială
Pentru a efectua înmulțirea a două polinoame, folosim cele cunoscute proprietate distributivă între cele două polinoame, operând înmulțirea monomiilor primului polinom cu cele ale celui de-al doilea.
Exemplu:
Fie P (x) = 2a² + b și Q (x) = a³ + 3ab + 4b². Calculați P (x) · Q (x).
P (x) · Q (x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Aplicând proprietatea distributivă, vom avea:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
Al 2-lea5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³
Acum, dacă există, putem simplifica termeni similari:
Al 2-lea5 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Rețineți că singurele monomii similare sunt evidențiate în portocaliu, simplificând între ele, vom avea următorul polinom ca răspuns:
Al 2-lea5 + (6 + 1) a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Al 2-lea5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
De asemenea, accesați: Cum se face multiplicarea fracției algebrice?
diviziunea polinomială
efectuați diviziunea polinoamelor poate fi destul de laborios, folosim ceea ce se numește metoda tastelor, dar există mai multe metode pentru aceasta. Împărțirea a două polinoame este posibil doar dacă gradul divizorului este mai mic. Prin împărțirea polinomului P (x) la polinomul D (x), căutăm un polinom Q (x), astfel încât:
Astfel, prin algoritmul de divizare, avem: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
P (x) → dividend
D (x) → divizor
Q (x) → coeficient
R (x) → rest
Când se operează diviziunea, polinomul P (x) este divizibil cu polinomul D (x) dacă restul este zero.
Exemplu:
Să operăm împărțind polinomul P (x) = 15x² + 11x + 2 la polinomul D (x) = 3x + 1.
Vrem să împărtășim:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
Primul pas: împărțim primul monomiu al dividendului cu primul divizor:
15x²: 3x = 5x
Al doilea pas: înmulțim 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x și scădem rezultatul lui P (x). Pentru a efectua scăderea, este necesar să se inverseze semnele rezultatului înmulțirii, găsind polinomul:
Pasul 3: efectuăm împărțirea primului termen al rezultatului scăderii la primul termen al divizorului:
6x: 3x = 2
Al 4-lea pas: deci avem (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Prin urmare, trebuie să:
Q (x) = 5x + 2
R (x) = 0
Citește și: Dispozitivul practic al lui Briot-Ruffini - divizarea polinoamelor
Exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - Care ar trebui să fie valoarea lui m astfel încât polinomul P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m să aibă gradul 2?
A) 3
B) -3
C) ± 3
D) 9
E) -9
Rezoluţie
Alternativa A
Pentru ca P (x) să aibă gradul 2, coeficientul lui x³ trebuie să fie egal cu zero, iar coeficientul lui x² trebuie să fie diferit de zero.
Deci vom face:
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ± 3
Pe de altă parte, avem acel m + 3 ≠ 0.
Deci, m ≠ -3.
Astfel, avem ca soluție a primei ecuații că m = 3 sau m = -3, totuși, pentru a doua, avem m ≠ -3, deci singura soluție care face ca P (x) să aibă gradul 2 este: m = 3.
Intrebarea 2 - (IFMA 2017) Perimetrul figurii poate fi scris de polinomul:
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Rezoluţie
Alternativa D
Din imagine, atunci când analizăm lungimea și lățimea date, știm că perimetrul este suma tuturor laturilor. Deoarece lungimea și înălțimea sunt aceleași, doar înmulțim suma polinoamelor date cu 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
