În studiul cercurilor, un concept important care trebuie studiat este cel al liniilor tangente la un cerc. Pentru a realiza acest studiu, este necesar să înțelegem pozițiile relative ale unui punct în raport cu un cerc. Dacă nu ați studiat ceva legat de acest subiect, consultați articolul Poziții relative între un punct și un cerc.
Observând poziția unui punct în raport cu un cerc, putem concluziona câteva fapte legate de linii tangente. Se știe că există trei poziții relative de la un punct la un cerc. Pentru fiecare poziție a acestui lucru, putem concluziona ceva despre linia tangentă care trece prin acel punct.
• Punct în interiorul cercului: nu puteți trage o linie tangentă prin acest punct.
• Punct aparținând cercului: prin acest punct putem avea doar o linie tangentă, deoarece este punctul de tangență.
• Punct în afara cercului: din acest punct putem trasa două linii tangente la cerc.
Prin urmare, pentru a determina ecuația liniei tangente la un cerc printr-un punct dat, trebuie să determinăm în mod necesar poziția relativă a acelui punct. Această poziție depinde de distanța de la punct la centrul cercului.
Trebuie să ne amintim câteva fapte importante despre geometria analitică:
• Cea mai mică distanță de la un punct la o linie este un segment perpendicular pe această linie;
• Linia tangentă va fi întotdeauna perpendiculară pe rază în punctul său tangent.
Relatând cele două fapte anterioare, se poate afirma că distanța de la linia tangentă la centru trebuie să fie egală cu raza.
Prin urmare, pentru a determina ecuația liniei tangente, trebuie să analizăm poziția punctului pe care îl vom trasa la linie și astfel calculați distanța liniei care conține acest punct în raport cu centrul liniei circumferinţă.
Pentru o mai bună înțelegere a tuturor acestor concepte, vom lucra cu exemple care au nevoie de aceste reflecții.
1) Determinați ecuația (e) liniei (lor) tangente (i) la cercul dat, trasată de punctul P.
a) echiv. circumferinta: x2+ y2 - 6x - 8y = 0 P (0,0)
Cu aceasta, putem extrage informațiile necesare pentru problema noastră:
C (3,4), r = 5.
Acum trebuie să găsim poziția relativă a punctului P (0,0):
Prin urmare, punctul P este punctul de tangență.
Să determinăm ecuația liniei drepte prin punctul P.
Pentru a determina efectiv ecuația liniei, trebuie să aflăm care este panta acestei linii. Unul dintre faptele pe care le-am văzut la începutul acestui articol a fost perpendicularitatea liniei tangente la raza cercului. Punctul P este un punct de tangență, deci panta liniei care trece prin punctul P și centrul trebuie să fie perpendiculară pe linia tangentă. Pentru aceasta, avem o relație între pante perpendiculare.
Cu alte cuvinte, produsul pantelor liniilor perpendiculare este egal cu -1.
Pentru a determina panta segmentului PC, trebuie să folosim următoarea expresie:
Cu aceasta, obținem ecuația liniei tangente:
O altă modalitate de a determina valoarea lui m ar fi calcularea distanței de la centru la linie. Această distanță este egală cu raza. Sa vedem:
Când punctul este în afara cercului, ar trebui să găsim punctul de tangență folosind distanța de la centrul cercului la linie tangentă, deci vom determina valoarea coeficientului unghiular al liniei tangente, care, la rândul său, va determina ecuația liniei tangentă.
De Gabriel Alessandro de Oliveira
Absolvent în matematică
Echipa școlii din Brazilia
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tangencia-circunferencia.htm