Știm cum progresii cazuri particulare de secvențe numerice. Există două cazuri de progresii:
progresie aritmetică
progresie geometrică
Pentru a fi o progresie, trebuie să analizăm caracteristicile secvenței pentru dacă există ceea ce numim motiv. când progresia este aritmetic, motivul nu este altceva decât o constantă pe care o adăugăm la un termen pentru a-i găsi succesorul în secvență; acum, când lucrezi cu o progresie geometric, rațiunea are o funcție similară, doar în acest caz rațiunea este termenul constant prin care înmulțim un termen în secvență pentru a-i găsi succesorul.
Din cauza comportament previzibil a unei progresii, există formule specifice pentru găsirea oricărui termen în aceste secvențe și este, de asemenea, posibil să se dezvolte un formula pentru fiecare dintre ele (adică una pentru aritmetică și una pentru progresia geometrică) pentru a calcula suma DinNu primii termeni ai acestei progresii.
Citește și: Funcții - ce sunt și pentru ce sunt?
secvența numerică
Pentru a înțelege ce sunt progresele, trebuie mai întâi să înțelegem ce sunt acestea secvențe numerice. După cum sugerează și numele, știm secvența numerică a set de numere care respectă o ordine, fiind bine definit sau nu. spre deosebire de seturi numerică în care ordinea nu contează, într-o succesiune numerică, ordinea este esențială, de exemplu:
Secvența (1, 2, 3, 4, 5) este diferită de (5, 4, 3, 2, 1), care este diferită de secvența (1, 5, 4, 3, 2). Chiar dacă elementele sunt aceleași, deoarece ordinea este diferită, deci avem secvențe diferite.
Exemple:
Putem scrie secvențe ale căror formațiuni sunt ușor de văzut:
a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → succesiune de numere pare mai mici sau egale cu 12.
b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → secvență regresivă a numerelor impare de la 17 la 5.
c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...) → cunoscut sub numele de Secvența Fibonacci.
d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 ...) → deși nu este posibilă descrierea acestei secvențe ca și celelalte, este ușor de prezis care vor fi următorii termeni.
In alte cazuri, secvențele pot avea valori aleatorii totale, oricum, pentru a fi o secvență, ceea ce contează este să ai un set de valori ordonate.
la 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)
b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)
Oricât nu este posibil să se prezică cine sunt următorii termeni din litera b, lucrăm în continuare cu o continuare.
În general, șirurile sunt întotdeauna reprezentate între paranteze (), în felul următor:
(The1, A2, The3, A4, The5, A6, A7, A8 …) → secvență infinită
(The1, A2, The3, A4, The5, A6, A7, A8 … ANu) → secvență finită
În ambele, avem următoarea reprezentare:
1 → primul termen
2 → al doilea termen
3 → al treilea termen
.
.
.
Nu → al n-lea termen
Observare: Este foarte important ca, atunci când se reprezintă o secvență, datele să fie închise între paranteze. Notarea secvenței este adesea confundată cu notația setată. Un set este reprezentat în paranteze, iar în set ordinea nu este importantă, ceea ce face diferența în acest caz.
(1, 2, 3, 4, 5) → secvență
{1, 2, 3, 4, 5} → set
Există cazuri particulare de secvențe care sunt cunoscute sub numele de progresii.
Vezi și: Care este principiul fundamental al numărării?
Ce sunt progresiile?
O secvență este definită ca o progresie atunci când are o regularitate de la un termen la altul, cunoscut sub numele de rațiune. Există două cazuri de progresie, progresie aritmetică și progresie geometrică. Pentru a ști cum să diferențiem fiecare dintre ele, trebuie să înțelegem care este motivul unei progresii și cum interacționează acel motiv cu termenii secvenței.
Când, de la un termen la altul din secvență, am un suma constantă, această secvență este definită ca o progresie și, în acest caz, este o progresie aritmetică. Această valoare pe care o adăugăm constant este cunoscută sub numele de raport. Celălalt caz, adică atunci când secvența este a progresie geometrică, de la un termen la altul există un multiplicarea cu o valoare constantă. În mod analog, această valoare este raportul dintre progresia geometrică.
Exemple:
a) (1, 4, 7, 10, 13, 16 ...) → observați că adăugăm întotdeauna 3 de la un termen la altul, deci avem o progresie aritmetică a raportului egal cu 3.
b) (1, 10, 100, 1000, 10000 ...) → în acest caz înmulțim întotdeauna cu 10 de la un termen la altul, având de-a face cu o progresie geometrică a raportului 10.
c) (0, 2, 8, 26 ...) → în ultimul caz, există o singură secvență. Pentru a găsi următorul termen, înmulțim termenul cu 3 și adăugăm 2. Acest caz, chiar dacă există o regularitate pentru a găsi următorii termeni, este doar o succesiune, nu o progresie aritmetică sau geometrică.
progresie aritmetică
Când lucrăm cu secvențe numerice, acele secvențe în care le putem prezice următorii termeni sunt destul de recurente. Pentru ca această secvență să fie clasificată ca progresie aritmetică, trebuie să existe un motiv A. De la primul termen, următorul termen este construit prin suma termenului anterior cu motivul r.
Exemple:
a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)
Aceasta este o secvență care poate fi clasificată ca progresie aritmetică, deoarece motivul r = 3 și primul termen este 4.
b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23 ...)
Această secvență este o progresie aritmetică cu un motiv întemeiat. r = -5, iar primul său termen este 7.
Termenii unui PA
În multe cazuri, interesul nostru este să găsim un termen specific în progresie, fără a fi nevoie să scriem întreaga secvență. Cunoscând valoarea primului termen și raportul, este posibil să se găsească valoarea oricărui termen într-o progresie aritmetică. Pentru a găsi termenii unei progresii arimetice, folosim formula:
Nu =1+ (n - 1) r
Exemplu:
Găsiți al 25-lea termen al unui P.A al cărui raport este 3 și primul termen este 12.
Date r = 3,1 = 12. Vrem să găsim al 25-lea termen, adică n = 25.
Nu =1+ (n - 1) r
25 = 12 + (25 - 1) · 3
25 = 12 + 24 · 3
25 = 12 + 72
25 = 84
Termenul general al unui P.A.
Termenul general formula este a mod de a simplifica formula unui termen AP pentru a găsi mai rapid orice termen de progresie. Odată ce primul termen și motivul sunt cunoscuți, este suficient să înlocuiți în formulă un termen al unui P.A., pentru a găsi termenul general al progresiei aritmetice, care depinde doar de valoarea Nu.
Exemplu:
Găsiți termenul general al unei PA care are r = 3 și1 = 2.
Nu = 2 + (n -1) r
Nu = 2 + (n -1) 3
Nu = 2 + 3n - 3
Nu = 2n - 1
Acesta este termenul general al unui P.A., care servește pentru a găsi orice termen în această progresie.
Suma termenilor unui PA
THE suma termenilor unui PA ar fi destul de laborios dacă ar fi necesar să găsim fiecare dintre termenii săi și să-i adunăm. Există o formulă pentru calcularea sumei tuturor Nu primii termeni ai unei progresii aritmetice:
Exemplu:
Găsiți suma tuturor numerelor impare de la 1 la 100.
Știm că numerele impare sunt o progresie aritmetică a raportului 2: (1, 3, 5, 7... 99). În această progresie există 50 de termeni, deoarece, de la 1 la 100, jumătate din numere sunt pare, iar cealaltă jumătate este impar.
Prin urmare, trebuie să:
n = 50
1 = 1
Nu = 99
De asemenea, accesați: Funcția de gradul 1 - utilizarea practică a progresiei aritmetice
Progresia geometrică
Un șir poate fi, de asemenea, clasificat ca relatii cu publiculogresiune geometric (PG). Pentru ca o secvență să fie o progresie geometrică, trebuie să aibă un motiv, dar în acest caz, pentru a găsi următorul termen din primul termen, efectuăm multiplicarea raportului cu termenul anterior.
Exemple:
a) (3, 6, 12, 24, 48 ...) → Progresia geometrică a raportului 2, iar primul său termen este 3.
b) (20, 200, 2000, 20 000 ...) → Progresia geometrică a raportului 10, iar primul său termen este 20.
Termenul unui PG
Într-o progresie geometrică, reprezentăm motivul literei ce. Termenul unei progresii geometrice poate fi găsit prin formula:
Nu =1 · cen - 1
Exemplu:
Găsiți al 10-lea termen al unui PG, știind asta ce = 2 și1 = 5.
Nu =1 · cen - 1
10 = 5 · 210 - 1
10 = 5 · 29
10 = 5 · 512
10 = 2560
Termenul general al unui PG
Când cunoaștem primul termen și motivul, este posibil să generăm formula termenului general dintr-o progresie geometrică care depinde exclusiv de valoarea Nu. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să înlocuim primul termen și raportul și vom găsi o ecuație care depinde doar de valoarea Nu.
Folosind exemplul anterior, unde raportul este 2 și primul termen este 5, termenul general pentru acest GP este:
Nu =1 · cen - 1
Nu = 5 · 2n - 1
Suma termenilor unui PG
Adăugarea tuturor termenilor unei progresii ar fi multă muncă. În multe cazuri, scrierea întregii secvențe pentru a realiza această sumă necesită mult timp. Pentru a facilita acest calcul, progresia geometrică are o formulă care servește la calcularea suma de Nu primele elemente a unui PG finit:
Exemplu:
Găsiți suma primilor 10 termeni ai GP (1, 2, 4, 8, 16, 32 ...).
Rețineți că raportul acestui PG este egal cu 2.
1 = 1
ce = 2
Nu = 10
Citește și: Funcția exponențială - utilizarea practică a progresiei geometrice
Exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - O anumită cultură de bacterii este observată timp de câteva zile de către oamenii de știință. Una dintre ele analizează creșterea acestei populații și a observat că, în prima zi, erau 100 de bacterii; în a doua, 300 de bacterii; în al treilea, 900 de bacterii și așa mai departe. Analizând această secvență, putem spune că este:
A) o progresie aritmetică a raportului 200.
B) o progresie geometrică a raportului 200.
C) o progresie arimetică a rațiunii 3.
D) o progresie geometrică a raportului 3.
E) o secvență, dar nu o progresie.
Rezoluţie
Alternativa D.
Analizând secvența, avem termenii:
Rețineți că 900/300 = 3, precum și 300/100 = 3. Prin urmare, lucrăm cu un PG de raport 3, deoarece înmulțim cu trei din primul termen.
Intrebarea 2 - (Enem - PPL) Pentru un începător în alergare, a fost stipulat următorul plan zilnic de antrenament: alerga 300 de metri în prima zi și crește 200 de metri pe zi din a doua. Pentru a-și număra performanța, va folosi un cip, atașat la adidașul său, pentru a măsura distanța parcursă la antrenament. Luați în considerare faptul că acest cip stochează, în memoria sa, maximum 9,5 km de alergare / mers și trebuie plasat la începutul antrenamentului și aruncat după epuizarea spațiului pentru rezervarea datelor. Dacă acest atlet folosește cipul din prima zi de antrenament, pentru câte zile consecutive acest cip va putea stoca kilometrajul planului de antrenament zilnic?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 12
E) 13
Rezoluţie
Alternativa B.
Analizând situația, știm că avem un PA cu un motiv de 200 și un final inițial egal cu 300.
Mai mult, știm că suma SNu = 9,5 km = 9500 metri.
Cu aceste date, să găsim termenul aNu, care este numărul de kilometri înregistrați în ultima zi de depozitare.
De asemenea, merită să ne amintim că orice termen aNu poate fi scris ca:
Nu =1 + (n - 1)r
Având în vedere ecuația 200n² + 400n - 19000 = 0, putem împărți toți termenii la 200, simplificând ecuația și găsind: n² + 2n - 95 = 0.
Pentru Delta și Bhaskara, trebuie să:
a = 1
b = 2
c = -95
Δ = b² - 4ac
Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)
Δ = 4 – 4 · (-95)
Δ = 4 + 380
Δ = 384
Știm că 8,75 corespunde 8 zile și câteva ore. În acest caz, numărul de zile în care poate fi efectuată măsurarea este de 8.
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm
