Operațiile cu numere complexe în formă trigonometrică facilitează calculul care implică elementele acestui set. Înmulțirea și împărțirea complexelor care sunt în formă trigonometrică se realizează aproape instantaneu, în timp ce în formă algebrică procesul necesită mai multe calcule. Potențierea și radierea complexelor în formă trigonometrică sunt, de asemenea, facilitate cu utilizarea formulelor lui Moivre. Să vedem cum se realizează înrădăcinarea acestor numere:
Se consideră orice număr complex z = a + bi. Forma trigonometrică a lui z este:
Rădăcinile n-index ale lui z sunt date de a doua formulă Moivre:
Exemplul 1. Găsiți rădăcinile pătrate ale lui 2i.
Soluție: Mai întâi trebuie să scriem numărul complex în formă trigonometrică.
Tot numărul complex este de forma z = a + bi. Deci, trebuie să:
Știm, de asemenea, că:
Cu valorile sinusului și cosinusului putem concluziona că:
Astfel, forma trigonometrică a lui z = 2i este:
Acum, să calculăm rădăcinile pătrate ale lui z folosind formula lui Moivre.
Din moment ce dorim rădăcinile pătrate ale lui z, vom obține două rădăcini distincte z0 și z1.
Pentru k = 0, vom avea
Pentru k = 1, vom avea:
Sau
Exemplul 2. Obțineți rădăcinile cubice ale z = 1 ∙ (cosπ + i ∙ senπ)
Soluție: Deoarece numărul complex este deja în formă trigonometrică, utilizați doar formula lui Moivre. Din afirmație avem că ø = π și | z | = 1. Prin urmare,
Vom avea trei rădăcini distincte, z0, z1 și z2.
Pentru k = 0
Pentru k = 1
Sau z1 = - 1, deoarece cos π = - 1 și sin π = 0.
Pentru k = 2
De Marcelo Rigonatto
Specialist în statistici și modelare matematică
Echipa școlii din Brazilia
Numere complexe - Matematica - Școala din Brazilia
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm