O multiplu comun minim (MMC) între două numere întregi x și y este cel mai mic număr întreg care este multiplu al lui x și y simultan. În acest fel, există cel puțin o modalitate de a găsi MMC între două numere x și y: căutați seturile de multipli ai lui x și y pentru cel mai mic element comun. Desigur, există o metodă practică pentru găsirea acestui număr, care va fi discutată mai jos. Cu toate acestea, este necesar să înțelegem bine conceptul multiplilor unui număr întreg.
Ce sunt multiplii?
Un număr întreg k se numește a multiplu de x dacă există un număr natural n astfel încât n · x = k. Luați exemplul numărului 110. El este multiplu din 10, deoarece 110 este rezultatul înmulțirii 10 cu numărul natural 11.
În acest fel, este posibil să se identifice dacă întregul k este multiplu lui x prin încercare și eroare sau făcând operația inversă de multiplicare (divizare). Numărul k este multiplu al lui x dacă există un număr natural n astfel încât:
n = k
X
Cu alte cuvinte, pentru a afla dacă 110 este multiplu de 10, împarte 110 la 10. Dacă rezultatul găsit este un număr natural, 110 este multiplu de 10; în caz contrar, nu.
Deoarece mulțimea numerelor naturale este infinită, mulțimea de multipli al oricărui număr întreg este de asemenea infinit. Cu toate acestea, pentru a rezolva exerciții care implică multiple și MMC, este bine să scrieți o listă cu primii multipli ai unui număr pentru a obține o analiză mai bună a comportamentului multiplilor săi.
Mai jos este o listă cu primii 10 multipli ai lui 8, 10, 12, 20 și 40. Ele sunt primele 10 deoarece sunt rezultatul înmulțirii acestor numere cu primele 10 numere naturale.
10 primele naturale: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Multipli de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80
Multipli de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Multipli de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Multipli de 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200
Multipli de 40: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400
Cel mai mic multiplu comun
Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun între două numere, găsiți multiplu minor pe care le au în comun. Prima tehnică utilizată pentru a găsi mmc este de a o căuta între multiplii celor două numere. Uita-te la exemplu:
Cel mai mic multiplu comun între 10 și 12 este 60, deoarece între multiplii lui 10 și 12, 60 este cel mai mic număr care este multiplu al ambelor. Ceas:
Multipli de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Multipli de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Pentru aceste două numere, care sunt mici, este ușor să găsiți MMC. Dar ce se întâmplă atunci când este necesar calculul MMC între 256 și 384? Dacă doriți să continuați prin această metodă, vor fi necesare numeroase înmulțiri obositoare. Pentru asta, există un metodă practică despre care se va discuta mai jos.
Metoda de descompunere pentru calcularea MMC
Pentru a calcula cel mai mic multiplu comun între două numere, puteți face descompunerea factorului prim al lor. De exemplu, descompunerile în factori primi ai 10 și 12 sunt:
10 = 2·5
12 = 2·2·3 = 22·3
Notă: Ori de câte ori apar factori repetați, scrieți-i în formă de putere, așa cum s-a făcut în descompunerea numărului 12.
MMC între 10 și 12 va fi produsul factorilor primi, cu excepția factorilor care se repetă care au cel mai mic exponent. Astfel, minimul va fi:
22·3·5 = 4·3·5 = 12·5 = 60
Rețineți că factorul 2, din descompunerea numărului 10, a fost ignorat, deoarece același factor, din descompunerea numărului 12, a fost pătrat.
Acest lucru facilitează calcularea MMC între 256 și 384. Uite:
256 = 2·2·2·2·2·2·2·2 = 28
384 = 2·2·2·2·2·2·2·3 = 27·3
MMC va fi produsul 28·3 = 256·3 = 768.
Exemplul 2: MMC între 768 și 4608
768 = 28·3
4608 = 29·32
MMC va fi produsul: 29·32.
Exemplul 3: Calculați MMC între 2700 și 4608
2700 = 33·22·52
4608 = 29·32
Rețineți că factorii sunt 2, 3 și 5. Cei cu cei mai mari exponenți sunt 29, 33 și 52. Deci, MMC va fi:
29·33·52 = 345600
Metodă practică de calcul al MMC
Este posibil să rețineți că pentru a descompune numerele în factori primi, este necesar să le împărțim la cel mai mic divizor prim posibil și să ignorăm totuși factorii care se repetă în aceeași diviziune. Există o metodă capabilă să îndeplinească această sarcină. Pentru a vă învăța, vom folosi exemplul MMC între 1000 și 1024.
Scrieți aceste două numere unul lângă altul, separate printr-o virgulă și treceți o linie verticală verticală la dreapta lor:
1000, 1024 |
|
|
În dreapta acelei urme, scrieți cel mai mic număr prim care împarte cel puțin unul între 1000 și 1024. În acest caz, numărul este 2 și îi împarte pe amândouă.
1000, 1024 | 2
|
|
Chiar sub fiecare dintre ele, scrieți rezultatul împărțirii la 2 și, pentru aceste rezultate, repetați procedura de mai sus până când nu mai este posibil să împărțiți niciun număr la 2.
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |
Rețineți că la un moment dat găsim rezultatul 125 în coloana 1000, dar 125 nu este divizibil cu 2. În coloana numărul 1024, obținem doar rezultate divizibile cu 2. În acest caz, continuăm să împărțim numerele din coloana 1024 la 2 și repetăm numărul 125.
Când numerele din cele 1000 și 1024 coloane nu mai sunt divizibile cu 2, încercați următorul prim: numărul 3. Când nu mai există divizori ai lui 3, încercați următorul și așa mai departe până când obțineți rezultatul „1,1”. În cazul exemplului, 125 nu este divizibil cu 3, ci cu 5, așa că vom repeta procesul punând 5 în dreapta liniei. Ceas:
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |5
25, 1 |5
5, 1 |5
1, 1 |
Odată ce ați terminat, înmulțiți factorii găsiți în dreapta liniei verticale:
2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·5·5·5 = 210·53 = 128000
Exemplul 2: Calculați MMC între 432 și 384:
432, 384 |2
216, 192 |2
108, 96 |2
54, 48 |2
27, 24 |2
27, 12 |2
27, 6 |2
27, 3 |3
9, 1 |3
3, 1 |3
1, 1 |
MMC va fi: =
2·2·2·2·2·2·2·3·3·3 = 27·33 = 128·9 = 1152
Pentru a calcula MMC a trei sau mai multe numere, pur și simplu utilizați metoda practică discutată aici, punând toate aceste numere unul lângă altul.
De Luiz Paulo Moreira
Absolvent în matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/minimo-multiplo-comum-mmc.htm
