Ori de câte ori cuvântul „algebric” este folosit pentru o expresie numerică, înseamnă că acea expresie are cel puțin o necunoscută, adică o literă sau un simbol folosit pentru a reprezenta un număr necunoscut. Astfel, a fracție algebricăLa rândul său, nu este altceva decât o fracție care are cel puțin o necunoscută în numitor (partea de jos a fracției). De aceea simplificarea fracțiilor algebrice urmează același fundament ca simplificarea fracțiilor numerice.
Exemple de fracții algebrice sunt:
1)
2x
4y
2)
4y2 - 9x2
2y + 3x
Simplificarea fracțiilor algebrice
Simplificarea unei fracții algebrice urmează același fundament ca simplificarea unei fracții numerice. Este necesar să împărțiți numărătorul și numitorul la același număr. Observați un exemplu de simplificare a fracției:
30 = 15 = 5 = 1
60 30 10 2
Fracția de mai sus a fost simplificată cu 2, apoi cu 3 și apoi cu 5. Pentru a sprijini procedura de simplificarea fracțiilor algebrice, vom rescrie prima fracțiune de mai sus în forma sa factorizată:
30 = 2·3·5
60 2·2·3·5
Rețineți că numerele 2, 3 și 5 se repetă în numărător și numitor și că erau exact aceleași numere cu care a fost simplificată fracția. In contextul fracții algebrice, procedura este similară, așa cum este necesar pentru a factoriza polinoamele prezente în numărător și numitor. După aceea, trebuie să evaluăm dacă este posibil să simplificăm unele dintre ele.
Exemple
1) Simplificați următoarea fracție algebrică:
4x2y3
16xy6
Factorizați fiecare dintre necunoscutele și numerele prezente în fracție:
4x2y3
16xy6
2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y
Acum efectuați cât mai multe diviziuni posibil, așa cum ați făcut mai devreme pentru fracția numerică: Numerele care apar atât în numărător, cât și în numitor dispar, adică sunt "a tăia". De asemenea, este posibil să scriem că rezultatul fiecăreia dintre aceste simplificări este 1. Ceas:
2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y
X
2 · 2 · y · y · y
X
4y3
2) Simplificați următoarea fracție algebrică:
4y2 - 9x2
2y + 3x
Rețineți că numeratorul acestei fracție algebrică se încadrează într-unul dintre cazurile de produse notabile, adică două diferențe pătrate. Pentru a-l lua în considerare, doar rescrieți-l în forma sa factorizată. După aceea, este posibil să „tăiem” termenii care apar atât în numitor, cât și în numărător ca în exemplul anterior. Ceas:
4y2 - 9x2
2y + 3x
= (2y + 3x) (2y - 3x)
2y + 3x
= 1 · (2y - 3x)
= 2y + 3x
3) Simplificați următoarea fracție algebrică:
2(y2 - 16x2)
ay + 4ax
Așa cum s-a făcut anterior, luați în calcul polinoamele prezente în numărător și numitor. După aceea, efectuați diviziunile posibile.
2(y2 - 16x2)
ay + 4ax
= ··(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)
Rețineți că numeratorul a fost luat în considerare folosind două diferențe pătrate iar numitorul a fost luat în calcul prin factorul comun. În plus, termenul a2 poate fi scris ca produs a · a. În cele din urmă, efectuați cât mai multe diviziuni posibil. Și anume, a cu a și (y + 4x) cu (y + 4x):
··(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)
= 1 · 1 · (y - 4x)
= y - 4x
Cazurile de factorizare sunt de o importanță capitală pentru simplificarea fracțiilor algebrice. Mai jos sunt enumerate cele mai importante cazuri și câteva pagini unde pot fi găsite mai detaliat.
Factorizarea expresiilor algebrice
Un polinom poate fi scris în forma sa factorizată dacă poate fi exprimat într-una din cele patru forme de mai jos. Rezultatele prezentate sunt forma lor luată în considerare sau exemple de cum să le factorizăm:
1 - Factor comun
Dacă toți termenii polinomului au un număr necunoscut sau un număr comun, este posibil să le punem în evidență. De exemplu, în polinomul 4x2 + 2x putem pune în evidență 2x. Rezultatul va fi:
4x2 + 2x = 2x (2x + 1)
Rețineți că atunci când efectuați multiplicarea indicată pe al doilea membru (partea dreaptă a egalității), rezultatul va fi tocmai primul membru (partea stângă a egalității), datorită proprietății distributive a multiplicare.
2 - Gruparea
Având în vedere cazul anterior, un polinom care are patru termeni poate fi luat în considerare prin grupare, alăturare termenii obișnuiți doi câte doi și mai târziu să fie luați în considerare din nou dacă rezultatele lasă acest lucru posibilitate. 2x + bx + 2y + prin polinom, de exemplu, poate fi luat în considerare după cum urmează:
2x + bx + 2y + de
x (2 + b) + y (2 + b)
Rețineți că (2 + b) se repetă în ambii termeni noi. Așadar, o putem pune în evidență:
x (2 + b) + y (2 + b)
(2 + b) (x + y)
3 - Trinom pătrat perfect
Ori de câte ori un polinom este un trinom pătrat perfect, acesta va fi scris echivalent cu una dintre următoarele trei expresii dispuse în stânga și în roșu.
X2 + 2x + a2 = (x + a) (x + a)
X2 - 2x + a2 = (x - a) (x - a)
X2 - A2 = (x + a) (x - a)
Partea dreaptă este forma luată în considerare a polinomului, care poate fi utilizată pentru simplificarea fracției algebrice.
4 - Suma sau diferența a două cuburi
Ori de câte ori polinomul este în forma următoare sau i se poate scrie, acesta va fi o sumă de două cuburi.
X3 + 3x2la + 3x2 +3 = (x + a)3
X3 - 3x2la + 3x2 - A3 = (x - a)3
Din nou, partea stângă, în roșu, este polinomul care poate fi luat în calcul și rescris ca expresiile din partea dreaptă.
De Luiz Paulo Moreira
Absolvent în matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm
