Sistemul de ecuații de gradul 1 și 2

Sistemele de ecuații nu sunt altceva decât strategii care ne permit rezolva probleme și situații care implică mai multe variabile și cel puțin două ecuații. Dacă ecuațiile prezente în sistem implică doar plus si scădere dintre necunoscute, spunem că este un Sistem de ecuații de gradul 1. Putem rezolva acest sistem în două moduri, prin intermediul reprezentare grafică sau algebric. În formă algebrică, avem două alternative, metoda plus sau din înlocuire.

În cazul unui multiplicare între necunoscute sau, pur și simplu, că una dintre ele apare ca o putere exponentă 2, spunem că sistemul implică și ecuații de gradul 2. Pentru a rezolva un astfel de sistem, strategiile sunt aceleași cu cele menționate mai sus, dar pot exista mai multe soluții în acest caz.

Să vedem câteva exemple de sisteme de rezolvare a ecuațiilor de gradul 1 și 2:

Primul exemplu:

Rețineți că, în acest exemplu, ecuația x · y = 15 oferă un produs printre necunoscute X și y, deci aceasta este o ecuație de gradul 2. Pentru a o rezolva, să folosim metoda substituției. În a doua ecuație, vom izola X:

2x - 4y = - 14
2x = 4y - 14
x = 4y - 14
2
x = 2y - 7

Acum vom înlocui x = 2y - 7 în prima ecuație:

x · y = 15
(2y - 7) · y = 15
2y² - 7y - 15 = 0

Pentru a găsi posibile valori pentru da, vom folosi formula lui Bhaskara:

Δ = b² - 4.a.c
Δ = (– 7)² – 4.2.(– 15)
Δ = 49 + 120
Δ = 169

y = - b ± √Δ​
Al 2-lea

y = – (– 7) ± √169
2.2

y = 7 ± 13
4

y1 = 7 + 13 4 y1 = 20 4 y1 = 5

y2 = 7 – 13 4 y2 = – 6 4 y2 = – 3 2

Acum putem înlocui valorile găsite pentru y în x · y = 15 pentru a determina valorile X:

X1 · Y1 = 15 X1 · 5 = 15 X1 = 15 5 X1 = 3

X2 · Y2 = 15 X2 · (– 3) = 15 2  X2 = 15. (– 2) 3 X2 = – 10

Putem spune că ecuația are două soluții de acest tip (X y), sunt ei: (3, 5) și (– 10, ^{– 3}/₂).

Al 2-lea exemplu:

Pentru a rezolva acest sistem, vom folosi metoda adaosului. Pentru a face acest lucru, să înmulțim prima ecuație cu – 2. Sistemul nostru va arăta astfel:

(- 2x² + 2x²) + (- 4y² - 3y²) = (- 178 + 150)
0x² - 7y² = - 28
7y² = 28
y² = 28
7
y = ± √4
y₁ = + 2
y₂ = – 2

Acum putem înlocui valorile găsite pentru y în prima ecuație pentru a obține valorile lui X:

x² + 2y1² = 89 x² + 2. (2) ² = 89 x² + 8 = 89 x² = 81 x = ±√81 X1 = + 9 X2 = – 9

x² + 2y2² = 89 x² + 2. (- 2) ² = 89 x² + 8 = 89 x² = 81 x = ±√81 X3 = + 9 ​X4 = – 9

Putem spune că ecuația are patru soluții: (9, 2), (– 9, 2), ( 9, – 2) și (– 9, – 2).

Al 3-lea exemplu:

În rezolvarea acestui sistem de ecuații, vom folosi metoda substituției. În a doua ecuație, să izolăm X:

2x - 3y = 2
2x = 3y + 2
x = 3y + 2
2
x = 3y + 1
2

vom înlocui X în prima ecuație:

x² + 2y² = 1
(^3y/₂ + 1) ² + 2y² = 1
9y² + 3y + 1 + 2y² = 1
4

Vom înmulți întreaga ecuație cu 4:

9y² + 12 y + 4 + 8y² = 4
17y² + 12y = 0

Pentru a găsi posibile valori pentru da, să folosim formula lui Bhaskara:

Δ = b² - 4.a.c
Δ = 12² – 4.17. 0
Δ = 144
y = - b ± √Δ​
Al 2-lea
y = – 12 ± √144
2.17
y = – 12 ± 12
34

Da1 = – 12 + 12 34 y1 = 0 34 y1 = 0

y2 = – 12 – 12 34 y2 = – 24 34 y2 = – 12 17

Înlocuirea valorilor găsite pentru y în 2x - 3y = 2, putem determina valorile X:

2x - 3y1 = 2 2x - 3 · 0 = 2 2x - 0 = 2 x = 2 2 X1 = 1

2x - 3y2 = 2 2x - 3 · (^– 12/17)= 2 2x + 36 = 2  17 2x = 2 – 36 17 2x = - 2 17 X2 = – 1 17

Putem spune că ecuația are două soluții de acest tip (X y), sunt ei: (1, 0) și (^{– 1}/₁₇, ^{– 12}/₁₇).

De Amanda Gonçalves
Absolvent în matematică

Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-equacoes-1-o-2-o-grau.htm