THE ecuația modulară este a ecuaţie că, în primul sau al doilea membru, are termeni în modul. Modulul, cunoscut și sub numele de valoare absolută, este legat de distanța pe care un număr o are la zero. Întrucât vorbim despre distanță, modulul unui număr este întotdeauna pozitiv. Rezolvarea problemelor de ecuație modulară necesită aplicarea definiției modulului, de obicei împărțim ecuația în două cazuri posibile:
când ceea ce este în interiorul modulului este pozitiv și
când ceea ce este în interiorul modulului este negativ.
Citește și: Care este diferența dintre o funcție și o ecuație?
un modul cu numere reale
Pentru a putea rezolva probleme de ecuație modulară, este necesar să ne amintim definiția modulului. Modulul este întotdeauna același cu distanța unui număr până la zero, și să reprezinte modulul unui număr Nu, folosim bara dreaptă după cum urmează: |Nu|. Pentru a calcula |Nu|, am împărțit în două cazuri:
Prin urmare, putem spune că |Nu| e la fel Nu atunci când este un număr pozitiv sau egal cu zero și, în al doilea caz, |
Nu| este egal cu opusul lui Nu dacă este negativ. Amintiți-vă că opusul unui număr negativ este întotdeauna pozitiv, deci |Nu| are întotdeauna un rezultat egal cu un număr pozitiv.Exemple:
a) | 2 | = 2
b) | -1 | = - (- 1) = 1
Vezi și: Cum se rezolvă ecuația logaritmică?
Cum se rezolvă o ecuație modulară?
Pentru a găsi soluția unei ecuații modulare, este necesar să analizăm fiecare dintre posibilități, adică să împărțim, întotdeauna în două cazuri, fiecare dintre module. Pe lângă cunoașterea definiției modulului, pentru a rezolva ecuații modulare, este esențial să știi cum să rezolvi ecuații polinomiale.
Exemplul 1:
| x - 3 | = 5
Pentru a găsi soluția la această ecuație, este important să ne amintim că există două rezultate posibile care dau |Nu| = 5, aceștia sunt, Nu = -5, deoarece | -5 | = 5 și, de asemenea Nu = 5, deoarece | 5 | = 5. Deci, folosind aceeași idee, trebuie să:
I → x - 3 = 5 sau
II → x - 3 = -5
Rezolvarea uneia dintre ecuații separat:
Rezoluția I:
x - 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
Rezoluția II:
x - 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
Deci, există două soluții: S = {-2, 8}.
Rețineți că, dacă x = 8, ecuația este adevărată deoarece:
| x - 3 | = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
De asemenea, rețineți că, dacă x = -2, ecuația este, de asemenea, adevărată:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Exemplul 2:
| 2x + 3 | = 5
Ca și în exemplul 1, pentru a găsi soluția, este necesar să o împărțim în două cazuri, conform definiției modulului.
I → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5
Rezoluția I:
2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Rezoluția II:
2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
x = -8/2
x = -4
Apoi a stabilit de soluții este: S = {1, -4}.
Exemplul 3:
| x + 3 | = | 2x - 1 |
Când avem egalitatea a două module, trebuie să îl împărțim în două cazuri:
Primul caz, primul și al doilea membru al aceluiași semn.
Al doilea caz, primul și al doilea membru al semnelor opuse.
Rezoluția I:
Vom face cele două laturi mai mari decât zero, adică vom elimina pur și simplu modulul. Putem face și cu ambele negative, dar rezultatul va fi același.
X + 3 ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
2x - 1 ≥ 0 → | 2x - 1 | = 2x - 1
x + 3 = 2x - 1
x - 2x = -1 - 3
x = -4 (-1)
x = 4
Rezoluția II:
Laturile semnelor opuse. Vom alege o parte să fie pozitivă și cealaltă parte să fie negativă.
Alegerea:
| x + 3 | ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
| 2x - 1 | <0 → | 2x –1 | = - (2x - 1)
Deci, trebuie să:
x + 3 = - (2x - 1)
x + 3 = - 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3
Deci, setul de soluții este: S = {4, -2/3}.
De asemenea, accesați: Ce sunt ecuațiile iraționale?
exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - (UFJF) Numărul de soluții negative ale ecuației modulare | 5x - 6 | = x² este:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Rezoluţie
Alternativa E
Vrem să rezolvăm ecuația modulară:
| 5x - 6 | = x²
Deci, să îl împărțim în două cazuri:
Rezoluția I:
5x - 6> 0 → | 5x - 6 | = 5x - 6
Deci, trebuie să:
5x - 6 = x²
-x² + 5x - 6 = 0
Amintiți-vă că valoarea delta ne spune câte soluții are ecuația pătratică:
a = -1
b = 5
c = -6
Δ = b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Deoarece 1 este pozitiv, atunci în acest caz există două soluții reale.
Rezoluția II:
| 5x - 6 | <0 → | 5x - 6 | = - (5x - 6)
- (5x - 6) = x²
- 5x + 6 = x²
- x² - 5x + 6 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Deoarece Δ este pozitiv și în acest caz, atunci există două soluții reale, deci totalul soluțiilor reale este 4.
Intrebarea 2 - (PUC SP) Setul de soluții S al ecuației | 2x - 1 | = x - 1 este:
A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
Rezoluţie
Alternativa A
Rezoluția I:
| 2x - 1 | = 2x - 1
Deci, trebuie să:
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
Rezoluția II:
| 2x - 1 | = - (2x - 1)
- (2x - 1) = x - 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm