Hiperbolă. definiția hiperbolei

Ce este hiperbola?
Definiție: Fie F1 și F2 să fie două puncte pe plan și să fie 2c distanța dintre ele, hiperbola este mulțimea a punctelor din plan a căror diferență (în modul) a distanțelor față de F1 și F2 este constanta 2a (0 <2a <2c).
Elementele unei hiperbole:

F1 și F2 → sunt focarele hiperbolei
→ este centrul hiperbolei
2c → distanță focală
A doua → măsurare axa reală sau transversală
2b → măsurarea imaginii axei
c / a → excentricitate
Există o relație între a, b și c → c² =² + b²

Ecuația hiperbolei redusă
Primul caz: Hiperbola cu focalizări pe axa x.

Este clar că în acest caz focarele vor avea coordonatele F1 (-c, 0) și F2 (c, 0).
Astfel, ecuația redusă a elipsei cu centrul la originea planului cartezian și se concentrează pe axa x va fi:

Al doilea caz: Hiperbola cu focare pe axa y.

În acest caz, focarele vor avea coordonatele F1 (0, -c) și F2 (0, c).
Astfel, ecuația redusă a elipsei cu centrul la originea planului cartezian și se concentrează pe axa y va fi:

Exemplul 1. Găsiți ecuația redusă a hiperbolei cu axa reală 6, focare F1 (-5, 0) și F2 (5, 0).

Soluție: Trebuie
2a = 6 → a = 3
F1 (-5, 0) și F2 (5, 0) → c = 5
Din relația remarcabilă, obținem:
ç² =² + b^2 → 5² = 3² + b² → b² = 25 - 9 → b² = 16 → b = 4
Astfel, ecuația redusă va fi dată de:

Exemplul 2. Găsiți ecuația hiperbolei reduse care are două focare cu coordonatele F2 (0, 10) și axa imaginară care măsoară 12.
Soluție: Trebuie
F2 (0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Folosind relația remarcabilă, obținem:
10² =² + 6² → 100 = a² + 36 → a² = 100 - 36 → a² = 64 → a = 8.
Astfel, ecuația redusă a hiperbolei va fi dată de:

Exemplul 3. Determinați distanța focală a hiperbolei cu ecuația
Soluție: Deoarece ecuația hiperbolei este de tip  Noi trebuie sa
² = 16 și b² =9
Din relația remarcabilă pe care o obținem
ç² = 16 + 9 → c² = 25 → c = 5
Distanța focală este dată de 2c. Prin urmare,
2c = 2 * 5 = 10
Deci distanța focală este de 10.

De Marcelo Rigonatto
Specialist în statistici și modelare matematică
Echipa școlii din Brazilia

Geometrie analitică - Matematica - Școala din Brazilia