A matrice de identitate este un tip special de sediu. Cunoaștem ca matricea identitară In matricea pătrată de ordinul n care are toți termenii de pe diagonală egali cu 1 și termenii care nu aparțin diagonalei principale egali cu 0. Matricea de identitate este considerată elementul neutru al înmulțirii, adică dacă înmulțim o matrice M prin matricea de identitate, găsim ca rezultat matricea însăși M.
Vezi si: Care este determinantul unei matrice?
Subiectele acestui articol
- 1 - Rezumat despre matricea identitară
-
2 - Ce este matricea de identitate?
- ? Tipuri de matrice de identitate
- 3 - Proprietăţile matricei identitare
- 4 - Înmulțirea matricei identitare
- 5 - Exerciții rezolvate pe matricea identității
Rezumat despre matricea de identitate
Matricea de identitate este matricea pătrată cu elemente pe diagonala principală egale cu 1 și cu celelalte elemente egale cu 0.
Există matrici identitare de diferite ordine. Reprezentăm matricea identitară a ordinii n de I n.
Matricea de identitate este elementul neutru al înmulțirii matricei, adică \( A\cdot I_n=A.\)
Produsul unei matrice pătrate și al matricei sale inverse este matricea de identitate.
Ce este matricea de identitate?
Matricea de identitate este a tip special de matrice pătrată. O matrice pătrată este cunoscută ca matrice de identitate dacă are toate elementele de pe diagonala principală egale cu 1 și toate celelalte elemente egale cu 0. Apoi, în fiecare matrice de identitate:
➝ Tipuri de matrice de identitate
Există matrici identitare de diferite ordine. ordinea n este reprezentat de In. Să vedem mai jos câteva matrice ale altor ordine.
Comanda 1 matrice de identitate:
\(I_1=\stânga[1\dreapta]\)
Matricea de identitate a ordinii 2:
\(I_2=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
Matricea de identitate a ordinii 3:
\(I_3=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Matricea de identitate a ordinii 4:
\(I_4=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Matricea de identitate comanda 5:
\(I_5=\left[\begin{matrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Succesiv, putem scrie matrici identitare de diferite ordine.
Nu te opri acum... Mai sunt dupa publicitate ;)
Proprietățile matricei de identitate
Matricea de identitate are o proprietate importantă, întrucât este elementul neutru al înmulțirii dintre matrice. Aceasta înseamnă că orice matrice înmulțită cu matricea de identitate este egală cu ea însăși. Astfel, dată fiind matricea M de ordin n,avem:
\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)
O altă proprietate importantă a matricei de identitate este aceea că produsul unei matrice pătrate și a acesteia matrice inversă este matricea identitară. Având în vedere o matrice pătrată M de ordin n, produsul lui M de inversul său este dat de:
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
Citeste si: Ce este o matrice triunghiulară?
Înmulțirea matricei identitare
Când înmulțim o matrice M cu matricea de identitate de ordin n, obținem ca rezultat matricea M. Să vedem, mai jos, un exemplu de produs al matricei M de ordinul 2 cu matricea de identitate de ordinul 2.
\(A\ =\ \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right) \) Este \(I_n=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\)
Presupunând că:
\(A\cdot I_n=B\)
Avem:
\(B\ =\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)\)
Deci produsul lui A prin \(În\) va fi:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)
Rețineți că termenii matricei B sunt identici cu termenii matricei A, adică:
\(A\cdot I_n=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]=A\)
Exemplu:
Fiind M Matricea \(M=\ \left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\), se calculează produsul dintre matrice M și matricea \(I_3\).
Rezoluţie:
Efectuând înmulțirea, avem:
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0&1trix\\}\r{matrix}\\0&0&1\)\r
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1\ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot\cdot\cdot\cdot+4\cdot\cdot\cdot\ +\ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\cdot1+1\right)\cdot1+1\cdot-0\cdot-0\cdot-0\cdot +1\cdot 1\\\end{matrice}\right]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\)
Exerciții rezolvate pe matricea identității
intrebarea 1
Există o matrice pătrată de ordinul 3 care este definită de \(a_{ij}=1 \) când \(i=j\) Este \(a_{ij}=0\) Este când \(i\neq j\). Această matrice este ca:
A) \( \left[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
B) \( \left[\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matrix}\right]\)
W) \( \left[\begin{matrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
D) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
ȘI) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
Rezoluţie:
Alternativa D
Analizând matricea, avem:
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)
Deci, matricea este egală cu:
\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
intrebarea 2
(UEMG) Dacă matricea inversă a \(A=\left[\begin{matrice}2&3\\3&x\\\end{matrice}\right]\) é \( \left[\begin{matrice}5&-3\\-3&2\\\end{matrice}\right]\), valoarea lui x este:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 9
Rezoluţie:
Alternativa A
Înmulțind matricele, ne dăm seama că produsul lor este egal cu matricea de identitate. Calculând produsul celui de-al doilea rând al matricei cu prima coloană a inversului său, avem:
\(3\cdot5+x\cdot\left(-3\right)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(x=\frac{-15}{-3}\)
\(x=5\ \)
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Doriți să faceți referire la acest text într-o lucrare școlară sau academică? Uite:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Matrice de identitate"; Școala din Brazilia. Disponibil in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm. Accesat pe 20 iulie 2023.
Înțelegerea aplicării matricelor este un fapt important pentru a nu rămâne în urmă la examenul de admitere. Aplicarea matricelor la examenele de admitere se realizează prin relaţionarea mai multor concepte de matrice într-o singură întrebare.
Aflați cum să calculați determinanții matricilor pătrate de ordinul 1, 2 și 3. Învață cum să folosești regula lui Sarrus. Cunoașteți proprietățile determinanților.
Înțelegeți aici definițiile și formalizările structurii matriceale. Vedeți, de asemenea, cum să operați elementele sale și diferitele tipuri de matrice.
Faceți clic aici și aflați ce este o matrice simetrică. Cunoaște-i proprietățile și descoperă cum diferă de o matrice antisimetrică.
Înțelegeți ce este o matrice transpusă. Cunoașteți proprietățile unei matrice transpuse. Aflați cum să găsiți matricea transpusă a unei matrice date.
Învață să calculezi înmulțirea dintre două matrice, precum și să știi ce este matricea de identitate și ce este matricea inversă.
Cunoaște regula lui Cramer. Învață să folosești regula lui Cramer pentru a găsi soluții la un sistem liniar. Vezi exemple lucrate ale regulii lui Cramer.
Cunoașteți Regula Sarrus? Aflați cum să utilizați această metodă pentru a găsi determinantul matricelor 3x3.
Îngrijorează-te
Argoul adaptat din engleză este folosit pentru a desemna pe cineva care este privit ca neplăcut, rușinos, depășit și demodat.
Neurodiversitatea
Un termen inventat de Judy Singer, este folosit pentru a descrie marea varietate de moduri în care se comportă mintea umană.
PL de știri false
Cunoscut și ca PL2660, este un proiect de lege care stabilește mecanisme de reglementare a rețelelor sociale din Brazilia.
