O volumul sferei este spațiul ocupat de aceasta solid geometric. Prin raza de minge — adică de la distanța dintre centru și suprafață — se poate calcula volumul acestuia.
Citeste si: Volumul solidelor geometrice
Rezumat despre volumul sferei
Sfera este a corp rotund obtinut prin rotirea unui semicerc in jurul unei axe care contine diametrul.
Toate punctele de pe o sferă se află la o distanță egală sau mai mică decât r de centrul sferei.
Volumul sferei depinde de măsura razei.
Formula pentru volumul sferei este \(V=\frac{4·π·r^3}3\)
Lecție video despre volumul sferei
Ce este sfera?
Considerăm un punct O în spațiu și un segment cu măsura r. sfera este solid format din toate punctele care se află la o distanță egală sau mai mică decât r de O. Numim O centrul sferei și r raza sferei.
sfera poate fi caracterizat și ca un solid al revoluției. Rețineți că rotirea unui semicerc în jurul unei axe care conține diametrul său formează o sferă:
Formula volumului sferei
Pentru a calcula volumul V al unei sfere, folosim formula de mai jos, unde r este raza sferei:
\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)
Este important să se observe unitate de măsură raza pentru a determina unitatea de măsură pentru volum. De exemplu, dacă r este dat în cm, atunci volumul trebuie dat în cm³.
Cum se calculează volumul sferei?
Calculul volumului sferei depinde doar de măsurarea razei. Să ne uităm la un exemplu.
Exemplu: Folosind aproximarea π = 3, găsiți volumul unei mingi de baschet care are 24 de centimetri în diametru.
Deoarece diametrul este de două ori mai mare decât raza, r = 12 cm. Aplicând formula pentru volumul sferei, avem
\(V=\frac{4·π·12^3}3\)
\(V=\frac{4 · π·1728}3\)
\(V=6 912\ cm^3\)
regiunile sferei
Să considerăm o sferă cu centrul O și raza r. Ca aceasta, putem considera trei regiuni din aceasta sfera:
Regiunea interioară este formată din punctele a căror distanță de centru este mai mică decât raza. Dacă P aparține regiunii interioare a sferei, atunci
\(D(P, O)
Regiunea de suprafață este formată din punctele a căror distanță față de centru este egală cu raza. Dacă P aparține regiunii de suprafață a sferei, atunci
\(D(P, O)=r\)
Regiunea exterioară este formată din punctele a căror distanță față de centru este mai mare decât raza. Dacă P aparține regiunii interioare a sferei, atunci
\(D(P, O)>r\)
În consecință, punctele din regiunea exterioară a sferei nu aparțin sferei.
Aflați mai multe: Calota sferică — solid obținut atunci când o sferă este intersectată de un plan
Alte formule de sferă
A zona sferei — adică măsurarea suprafeței sale — are și o formulă cunoscută. Dacă r este raza sferei, aria ei A se calculează prin
\(A=4·π·r^2\)
În acest caz, este de asemenea important să notați unitatea de măsură pentru rază pentru a indica unitatea de măsură pentru zonă. De exemplu, dacă r este în cm, atunci A trebuie să fie în cm².
Exerciții rezolvate asupra volumului sferei
intrebarea 1
Care este raza unei sfere care are un volum de 108 centimetri cubi? (Folosiți π = 3).
a) 2 cm
b) 3 cm
c) 4 cm
d) 5 cm
e) 6 cm
Rezoluţie
Alternativa B.
Consider că r este raza sferei. Știind că V = 108, putem folosi formula pentru volumul sferei:
\(V=\frac{4·π·r^3}3\)
\(108=\frac{4·3·r^3}3\)
\(108=4·r^3\)
\(r^3=27\)
\(r = 3\ cm\)
intrebarea 2
Un rezervor sferic antic are 20 de metri în diametru și are un volum V1. Se dorește construirea unui al doilea rezervor, de volum V2, cu volumul de două ori mai mare decât vechiul rezervor. Deci, V2 este la fel ca
cel) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)
B) \(\frac{3000·π}{4} m^3\)
w) \(\frac{2000·π}{3} m^3\)
d) \(\frac{4000·π}{3} m^3\)
Este) \(\frac{8000·π}{3} m^3\)
Rezoluţie
E alternativă.
Deoarece diametrul este de două ori mai mare decât raza, vechiul rezervor are raza r = 10 metri. Prin urmare
\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)
\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)
\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)
Prin declarație, \(V_2=2·V_1\), adică
\(V_2=\frac{8000·π}3 m^3\)
De Maria Luiza Alves Rizzo
Profesor de matematica
Sursă: Brazilia școală - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm