A tangentă (abreviat ca tg sau tan) este a functie trigonometrica. Pentru a determina tangentei unui unghi, putem folosi diferite strategii: calculați raportul dintre sinusul și cosinusul unghiului, dacă sunt cunoscute; utilizați un tabel tangente sau un calculator; calculați raportul dintre catetul opus și cel adiacent, dacă unghiul în cauză este intern (acut) unui triunghi dreptunghic, printre altele.
Citeste si: Pentru ce este folosit cercul trigonometric?
rezumat pe tangentă
Tangenta este o funcție trigonometrică.
Tangenta unui unghi interior la un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.
Tangenta oricărui unghi este raportul dintre sinusul și cosinusul acelui unghi.
Functia \(f (x)=tg\ x\) este definit pentru unghiuri X exprimat în radiani, astfel încât cos \(cos\ x≠0\).
Graficul funcției tangente arată asimptote verticale pentru valori, unde \(x= \frac{π}2+kπ\), cu k întreg, ca \(x=-\frac{π}2\).
Legea tangentelor este o expresie care asociază, în orice triunghi, tangentele a două unghiuri și laturile opuse acelor unghiuri.
Tangenta unui unghi
Dacă α este unul unghi intern al unui triunghi dreptunghic, tangenta lui α este raportul dintre lungimea catetei opuse și lungimea catetei adiacente:
Pentru orice unghi α, tangenta este raportul dintre sin α și cosinusul lui α, unde \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
De remarcat că dacă α este un unghi în cadranul 1 sau 3, tangenta va avea semn pozitiv; dar dacă α este un unghi al celui de-al 2-lea sau al 4-lea cadran, tangenta va avea semn negativ. Această relație rezultă direct din regula semnului dintre semnele sinusului și cosinusului pentru fiecare α.
Important: Rețineți că tangenta nu există pentru valorile lui α unde \(cos\ α=0\). Acest lucru se întâmplă pentru unghiuri de 90°, 270°, 450°, 630° și așa mai departe. Pentru a reprezenta aceste unghiuri într-un mod general, folosim notația radian: \(\frac{ π}2+kπ\), cu k întreg.
Tangenta unghiurilor notabile
Folosind expresia \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), putem găsi tangente ale unghiuri remarcabile, care sunt unghiurile de 30°, 45° și 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
Interesant: Pe lângă acestea, putem analiza valorile tangentei pentru unghiurile de 0° și 90°, care sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă. Deoarece sin 0° = 0, concluzionăm că tan 0° = 0. Pentru unghiul de 90°, deoarece cos90° = 0, tangenta nu există.
Cum se calculează tangenta?
Pentru a calcula tangentei, folosim formula tg α=sin αcos α, folosită pentru calcularea tangentei oricărui unghi. Să ne uităm la câteva exemple de mai jos.
Exemplul 1
Găsiți tangenta unghiului α în triunghiul dreptunghic de mai jos.
Rezoluţie:
În ceea ce privește unghiul α, latura măsurării 6 este latura opusă, iar latura măsurării 8 este latura adiacentă. Ca aceasta:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
Exemplul 2
Știind că \(păcat\ 35°≈0,573\) si cos\(35°≈0,819\), găsiți valoarea aproximativă pentru tangentei de 35°.
Rezoluţie:
Deoarece tangenta unui unghi este raportul dintre sinusul și cosinusul acelui unghi, avem:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
funcția tangentă
Funcția fx=tg x este definită pentru unghiuri X exprimată în radiani, astfel încât \(cos\ x≠0\). Aceasta înseamnă că domeniul funcției tangente este exprimat prin:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
În plus, toate numere reale sunt imaginea funcției tangente.
→ Graficul funcției tangente
Rețineți că graficul funcției tangente are asimptote verticale pentru valorile unde \(x= \frac{π}2+kπ\), cu k întreg, ca \( x=-\frac{π}2\). Pentru aceste valori ale X, tangenta nu este definită (adică tangenta nu există).
Vezi si: Ce este domeniul, gama și imaginea?
legea tangentelor
Legea tangentelor este a expresie care asociază, în a triunghi oricare, tangentele a două unghiuri și laturile opuse acelor unghiuri. De exemplu, luați în considerare unghiurile α și β ale triunghiului ABC de mai jos. Rețineți că latura CB = a este opusă unghiului α și că latura AC = b este opusă unghiului β.
Legea tangentelor spune ca:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
rapoarte trigonometrice
La rapoarte trigonometrice sunt funcțiile trigonometrice lucrate pe triunghiul dreptunghic. Interpretăm aceste rapoarte ca relații între laturile și unghiurile acestui tip de triunghi.
Exerciții rezolvate pe tangentă
intrebarea 1
Fie θ un unghi al celui de-al doilea cadran astfel încât sin\(sin\ θ≈0,978\), deci tgθ este aproximativ:
A) -4.688
B) 4.688
C) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Rezoluţie
Alternativa A
dacă \(sin\ θ≈0,978\), apoi, folosind identitatea fundamentală a trigonometriei:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)
Deoarece θ este un unghi al celui de-al doilea cadran, atunci cosθ este negativ, prin urmare:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
Curând:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
intrebarea 2
Să considerăm un triunghi dreptunghic ABC cu catetele AB = 3 cm și AC = 4 cm. Tangenta unghiului B este:
A) \(\frac{3}4\)
B) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
D) \(\frac{4}5\)
ȘI) \(\frac{5}3\)
Rezoluţie:
Alternativa C
Prin afirmație, piciorul opus unghiului \(\pălă{B}\) este AC care măsoară 4 cm și piciorul adiacent unghiului \(\pălă{B}\) este AB cu o măsură de 3 cm. Ca aceasta:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
De Maria Luiza Alves Rizzo
Profesor de matematica
