matricea simetrică este sediu în care fiecare element \(a_{ij}\) este egal cu elementul \(a_{ji}\) pentru toate valorile lui i și j. În consecință, fiecare matrice simetrică este egală cu transpunerea ei. De asemenea, merită menționat faptul că fiecare matrice simetrică este pătrată și că diagonala principală acționează ca o axă de simetrie.
Citeste si:Adunarea și scăderea matricei - cum se calculează?
Rezumat despre matricea simetrică
Într-o matrice simetrică, \(a_{ij}=a_{ji}\) pentru toate i și j.
Fiecare matrice simetrică este pătrată.
Fiecare matrice simetrică este egală cu transpunerea ei.
Elementele unei matrice simetrice sunt simetrice față de diagonala principală.
În timp ce în matricea simetrică \(a_{ij}=a_{ji}\) pentru toate i și j; într-o matrice antisimetrică, \(a_{ij}=-a_{ji}\) pentru toate i și j.
Ce este o matrice simetrică?
O matrice simetrică este o matrice pătrată unde \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) pentru fiecare i și fiecare j. Aceasta înseamnă că \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)
și așa mai departe, pentru toate valorile posibile ale lui i și j. Rețineți că valorile posibile ale lui i corespund rândurilor matricei, iar valorile posibile ale lui j corespund coloanelor matricei.Exemple de matrici simetrice
\(\begin{bmatrix} 5 și 9 \\ 9 și 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Exemple de matrici nesimetrice (a se lua în considerare \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 și 8 \\ 9 și 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Important: A spune că o matrice nu este simetrică înseamnă a arăta asta \(a_{ij}≠a_{ji}\) pentru cel puțin unele i și j (pe care le putem vedea comparând exemplele anterioare). Acesta este diferit de conceptul de matrice antisimetrică, pe care îl vom vedea mai târziu.
Care sunt proprietățile matricei simetrice?
Fiecare matrice simetrică este pătrată
Rețineți că definiția unei matrici simetrice se bazează pe matrici pătrate. Astfel, fiecare matrice simetrică are același număr de rânduri ca și numărul de coloane.
Fiecare matrice simetrică este egală cu transpunerea ei
Dacă A este o matrice, ea transpus (\(A^T\)) este definită ca matricea ale cărei rânduri sunt coloanele lui A și ale cărei coloane sunt rândurile lui A. Deci, dacă A este o matrice simetrică, avem \(A=A^T\).
În matricea simetrică, elementele sunt „reflectate” în raport cu diagonala principală
La fel de \(a_{ij}=a_{ji}\) într-o matrice simetrică, elementele de deasupra diagonalei principale sunt „reflexii” ale elementelor de dedesubt a diagonalei (sau invers) în raport cu diagonala, astfel încât diagonala principală acționează ca o axă a simetrie.
Care sunt diferențele dintre matricea simetrică și matricea antisimetrică?
Dacă A este o matrice simetrică, atunci \(a_{ij}=a_{ji}\) pentru tot i și tot j, așa cum am studiat. În cazul matricei antisimetrice, situația este diferită. Dacă B este o matrice antisimetrică, atunci \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) pentru fiecare i și fiecare j.
Rețineți că acest lucru are ca rezultat \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), acesta este, elementele diagonale principale sunt zero. O consecință a acestui lucru este că transpunerea unei matrice antisimetrice este egală cu opusul ei, adică dacă B este o matrice antisimetrică, atunci \(B^T=-B\).
Exemple de matrice antisimetrice
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Vezi si: Matricea identității — matricea în care elementele diagonale principale sunt egale cu 1 și elementele rămase sunt egale cu 0
Exerciții rezolvate pe matrice simetrică
intrebarea 1
(Unicentro)
dacă matricea \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) este simetric, deci valoarea lui xy este:
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Rezoluţie:
Alternativa A
Dacă matricea dată este simetrică, atunci elementele în poziții simetrice sunt egale (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Prin urmare, trebuie să:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Înlocuirea primei ecuaţie în al doilea, tragem concluzia că \(y=3\), curând:
\(x=2\) Este \(xy=6\)
intrebarea 2
(UFSM) Știind că matricea \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) este egală cu transpunerea sa, valoarea lui \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Rezoluţie:
Alternativa C
Deoarece matricea dată este egală cu transpunerea ei, atunci este o matrice simetrică. Astfel, elementele în poziții simetrice sunt egale (\(a_{ij}=a_{ji}\)), adică:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
Prin prima ecuație, x=-6 sau x=6. Prin a treia ecuație, obținem răspunsul corect: x= -6. Prin a doua ecuație, y=11.
Curând:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
De Maria Luiza Alves Rizzo
Profesor de matematica
Sursă: Brazilia școală - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm