O deviație standard este o măsură a dispersiei, la fel ca varianța și coeficientul de variație. La determinarea abaterii standard, putem stabili un interval în jurul mediei aritmetice (împărțirea dintre suma numerelor dintr-o listă și numărul de numere adăugate) unde sunt concentrate majoritatea datelor. Cu cât valoarea abaterii standard este mai mare, cu atât variabilitatea datelor este mai mare, adică abaterea de la media aritmetică este mai mare.
Citeste si: Mod, medie și mediană — principalele măsuri ale tendințelor centrale
Rezumatul abaterii standard
- Abaterea standard este o măsură a variabilității.
- Notația abaterii standard este litera greacă minusculă sigma (σ) sau litera s.
- Abaterea standard este utilizată pentru a verifica variabilitatea datelor în jurul mediei.
- Abaterea standard determină un interval \(\stanga[\mu-\sigma,\mu+\sigma\dreapta]\), unde se află majoritatea datelor.
- Pentru a calcula abaterea standard, trebuie să găsim rădăcina pătrată a varianței:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
Ce este abaterea standard?
Abaterea standard este a măsura de dispersie adoptată în Statistică. Utilizarea sa este legată de interpretarea varianței, care este și o măsură a dispersiei.
În practică, abaterea standard determină un interval, centrat pe media aritmetică, în care se concentrează majoritatea datelor. Astfel, cu cât valoarea abaterii standard este mai mare, cu atât neregularitatea datelor este mai mare (mai multe informații eterogene), iar cu cât valoarea abaterii standard este mai mică, cu atât neregularitatea datelor este mai mică (mai multe informații omogen).
Cum se calculează abaterea standard?
Pentru a calcula abaterea standard a unui set de date, trebuie să găsim rădăcina pătrată a varianței. Deci, formula de calcul a abaterii standard este
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\ldots, x_N\) → datele implicate.
- μ → media aritmetică a datelor.
- N → cantitatea de date.
- \( \sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2\ =\ \left (x_1-\mu\right)^2+\left (x_2-\mu\right) )^2+\left (x_3-\mu\right)^2+...+\left (x_N-\mu\right)^2 \)
Ultimul element, care se referă la numărătorul radicandului, indică suma pătratelor diferenței dintre fiecare punct de date și media aritmetică. te rog noteaza asta unitatea de măsură pentru abaterea standard este aceeași unitate de măsură ca și datele X1,X2,X3,…,XNu.
Deși scrierea acestei formule este puțin complexă, aplicarea ei este mai simplă și mai directă. Mai jos este un exemplu de utilizare a acestei expresii pentru a calcula abaterea standard.
- Exemplu:
Timp de două săptămâni, într-un oraș au fost înregistrate următoarele temperaturi:
Săptămâna/Zi |
duminică |
Al doilea |
Al treilea |
Al patrulea |
a cincea |
vineri |
sâmbătă |
saptamana 1 |
29°C |
30°C |
31°C |
31,5°C |
28°C |
28,5°C |
29°C |
saptamana 2 |
28,5°C |
27°C |
28°C |
29°C |
30°C |
28°C |
29°C |
În care dintre cele două săptămâni temperatura a rămas mai regulată în acest oraș?
Rezoluţie:
Pentru a analiza regularitatea temperaturii, trebuie să comparăm abaterile standard ale temperaturilor înregistrate în săptămânile 1 și 2.
- Să ne uităm mai întâi la abaterea standard pentru săptămâna 1:
Rețineți că media μ1 Este Nu1 sunt
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31.5+28+28.5+29}{7}\approx29.57\)
\(N_1=7 \) (7 zile pe săptămână)
De asemenea, trebuie să calculăm pătratul diferenței dintre fiecare temperatură și temperatura medie.
\(\stanga (29-29,57\dreapta)^2=0,3249\)
\(\stanga (30-29,57\dreapta)^2=0,1849\)
\(\stanga (31-29,57\dreapta)^2=2,0449\)
\(\stanga (31,5-29,57\dreapta)^2=3,7249\)
\(\stanga (28-29,57\dreapta)^2=2,4649\)
\(\stanga (28,5-29,57\dreapta)^2=1,1449\)
\(\stanga (29-29,57\dreapta)^2=0,3249\)
Adăugând rezultatele, avem că numărătorul radicandului din formula abaterii standard este
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
Deci abaterea standard a săptămânii 1 este
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \aproximativ 1,208\ °C\)
Notă: Acest rezultat înseamnă că majoritatea temperaturilor din săptămâna 1 sunt în intervalul [28,36 °C, 30,77 °C], adică intervalul \(\left[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\right]\).
- Acum să ne uităm la abaterea standard din săptămâna 2:
Urmând același raționament, avem
\(\mu_2=\frac{28.5+27+28+29+30+28+29}{7}=28.5\)
\(N_2=7\)
\(\stanga (28,5-28,5\dreapta)^2=0\)
\(\stanga (27-28,5\dreapta)^2=2,25\)
\(\stanga (28-28,5\dreapta)^2=0,25\)
\(\stanga (29-28,5\dreapta)^2=0,25\)
\(\stanga (30-28,5\dreapta)^2=2,25\)
\(\stanga (28-28,5\dreapta)^2=0,25\)
\(\stanga (29-28,5\dreapta)^2=0,25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
Deci abaterea standard a 2-a săptămână este
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \aprox.0,89\ °C\)
Acest rezultat înseamnă că cele mai multe temperaturi din săptămâna 2 sunt în interval \(\left[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\right]\), adică intervalul \(\left[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\right]\).
realiza asta \(\sigma_2, adică abaterea standard din săptămâna 2 este mai mică decât abaterea standard din săptămâna 1. Prin urmare, săptămâna 2 a prezentat temperaturi mai regulate decât săptămâna 1.
Care sunt tipurile de abatere standard?
Tipurile de abatere standard sunt legate de tipul de organizare a datelor. În exemplul anterior, am lucrat cu abaterea standard a datelor negrupate. Pentru a calcula abaterea standard a unui set de date organizate altfel (date grupate, de exemplu), ar trebui să ajustați formula.
Care sunt diferențele dintre abaterea standard și varianță?
abaterea standard este rădăcina pătrată a varianței:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}\)
Când se folosește varianța pentru a determina variabilitatea unui set de date, rezultatul are unitatea de date la pătrat, ceea ce face analiza lui dificilă. Astfel, abaterea standard, care are aceeași unitate cu datele, este un posibil instrument de interpretare a rezultatului varianței.
Aflați mai multe:Frecvența absolută - de câte ori a apărut același răspuns în timpul colectării datelor
Exerciții rezolvate pe abaterea standard
intrebarea 1
(FGV) La o clasă de 10 elevi, notele elevilor la o evaluare au fost:
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
Abaterea standard a acestei liste este de aproximativ
A) 0,8.
B) 0,9.
C) 1.1.
D) 1.3.
E) 1.5.
Rezoluţie:
Alternativa C.
Potrivit declarației, N = 10. Media acestei liste este
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
În plus,
\(\stanga (6-8\dreapta)^2=4\)
\(\stanga (7-8\dreapta)^2=1\)
\(\stanga (8-8\dreapta)^2=0\)
\(\stanga (9-8\dreapta)^2=1\)
\(\stanga (10-8\dreapta)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
Deci abaterea standard a acestei liste este
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\aproximativ 1,1\)
intrebarea 2
Luați în considerare afirmațiile de mai jos și evaluați-le pe fiecare ca T (adevărat) sau F (fals).
i. Rădăcina pătrată a varianței este abaterea standard.
II. Abaterea standard nu are nicio legătură cu media aritmetică.
III. Varianta și abaterea standard sunt exemple de măsuri de dispersie.
Ordinea corectă, de sus în jos, este
A) V-V-F
B) F-F-V
C) F-V-F
D) F-F-F
E) V-F-V
Rezoluţie:
E alternativă.
i. Rădăcina pătrată a varianței este abaterea standard. (Adevărat)
II. Abaterea standard nu are nicio legătură cu media aritmetică. (fals)
Abaterea standard indică un interval în jurul mediei aritmetice în care se încadrează majoritatea datelor.
III. Varianta și abaterea standard sunt exemple de măsuri de dispersie. (Adevărat)
De Maria Luiza Alves Rizzo
Profesor de matematica
Sursă: Brazilia școală - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm