Una dintre tehnicile folosite pentru rezolvare ecuații pătratice este metoda cunoscută sub numele de pătrate complete. Această metodă constă în interpretarea ecuaţie de al doileagrad ca trinom pătrat perfect și scrieți formularul dvs. factorizat. Uneori, această procedură simplă dezvăluie deja rădăcinile ecuației.
Prin urmare, este necesar să aveți cunoștințe de bază despre produse notabile, trinompătratPerfect și factorizarea polinomială să folosească această tehnică. Adesea, însă, permite efectuarea calculelor „în cap”.
Prin urmare, vom aminti cele trei cazuri de produseremarcabil înainte de a demonstra metodăa terminapătrate, care, la rândul său, va fi expus în trei cazuri diferite.
Produse remarcabile și trinomii pătrate perfecte
Apoi, vedeți produsul remarcabil, trinompătratPerfect care este echivalent cu acesta și cu forma luate în calcul respectiv al acestui trinom. Pentru a face acest lucru, considerați că x este necunoscut și este orice număr real.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k) (x + k)
(x - k)2 = x2 - 2kx + k2 = (x - k) (x - k)
Ecuația gradului al doilea referindu-se la al treilea produsremarcabil, cunoscut sub numele de produsul sumei și al diferenței, poate fi rezolvat folosind o tehnică care face calculele și mai ușoare. Ca urmare, nu va fi luată în considerare aici.
Ecuația este trinomul pătrat perfect
Daca unul ecuaţie de al doileagrad este un trinom pătrat perfect, atunci îi puteți identifica coeficienții ca: a = 1, b = 2k sau - 2k și c = k2. Pentru a verifica acest lucru, trebuie doar să comparați o ecuație pătratică cu a trinompătratPerfect.
Prin urmare, în soluția ecuaţie de al doileagrad X2 + 2kx + k2 = 0, vom avea întotdeauna posibilitatea de a face:
X2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√ [(x + k)2] = √0
| x + k | = 0
x + k = 0
x = - k
- x - k = 0
x = - k
Astfel, soluția este unică și egală cu –k.
Dacă ecuaţie fii x2 - 2kx + k2 = 0, putem face același lucru:
X2 - 2kx + k2 = 0
(x - k)2 = 0
√ [(x - k)2] = √0
| x - k | = 0
x - k = 0
x = k
- x + k = 0
- x = - k
x = k
Prin urmare, soluția este unică și egală cu k.
Exemplu: Care sunt rădăcinile ecuaţie X2 + 16x + 64 = 0?
Rețineți că ecuația este a trinompătratPerfect, deoarece 2k = 16, unde k = 8 și k2 = 64, unde k = 8. Deci putem scrie:
X2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√ [(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = - 8
Aici rezultatul a fost simplificat, deoarece știm deja că cele două soluții vor fi egale cu același număr real.
Ecuația nu este un trinom pătrat perfect
În cazurile în care ecuaţie de al doileagrad nu este un trinom pătrat perfect, putem lua în considerare următoarea ipoteză pentru a calcula rezultatele sale:
X2 + 2kx + C = 0
Rețineți că pentru ca această ecuație să se transforme în a trinompătratPerfect, doar înlocuiți valoarea lui C cu valoarea lui k2. Deoarece aceasta este o ecuație, singura modalitate de a face acest lucru este să adăugați k2 pe ambii membri, apoi schimbând coeficientul de membru C. Ceas:
X2 + 2kx + C = 0
X2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
X2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
După această procedură, putem continua cu tehnica anterioară, transformând trinompătratPerfect în produs remarcabil și calculând rădăcinile pătrate de pe ambele membre.
X2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
(x + k)2 = k2 - Ç
√ [(x + k)2] = √ (k2 - Ç)
x + k = ± √ (k2 - Ç)
Semnul ± apare ori de câte ori rezultatul unui ecuaţie este o rădăcină pătrată, deoarece în aceste cazuri rezultatul rădăcinii pătrate este a modul, așa cum se arată în primul exemplu. În cele din urmă, nu mai rămâne decât de făcut:
x = - k ± √ (k2 - Ç)
Deci, acestea ecuații au două rezultate real și distinct, sau nici un rezultat real atunci când C> k2.
De exemplu, calculați rădăcinile lui x2 + 6x + 8 = 0.
Soluţie: Rețineți că 6 = 2 · 3x. Prin urmare, k = 3 și deci k2 = 9. Prin urmare, numărul pe care trebuie să-l adăugăm la ambii membri este egal cu 9:
X2 + 6x + 8 = 0
X2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
X2 + 6x + 9 = 9-8
X2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√ [(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x ’= 1 - 3 = - 2
x ’’ = - 1 - 3 = - 4
În acest caz, coeficientul a ≠ 1
când coeficientul , dă ecuaţie de al doileagrad, este diferit de 1, doar împărțiți întreaga ecuație la valoarea numerică a coeficientului pentru a aplica apoi una dintre cele două metode anterioare.
Deci, în ecuația 2x2 + 32x + 128 = 0, avem rădăcina unică egală cu 8, deoarece:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
X2 + 16x + 64 = 0
Și, în ecuația 3x2 + 18x + 24 = 0, avem rădăcinile - 2 și - 4, deoarece:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
X2 + 6x + 8 = 0
De Luiz Paulo Moreira
Absolvent în matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-metodo-completar-quadrados.htm
