Domeniul, domeniul și intervalul sunt mulțimi numerice legate de funcții matematice. Acestea transformă valorile prin legile lor de formare și le transportă de la un set de ieșire, domeniul, la un set de sosire, intervalul.
Din setul de domenii provin valorile care vor fi transformate prin formula funcției, sau legea de formare. Ulterior, aceste valori ajung la codomeniu.
Submulțimea formată din elementele care ajung în codomeniu se numește set de imagini.
În acest fel, domeniul, domeniul și domeniul sunt mulțimi nevide și pot fi finite sau infinite.
În studiul funcțiilor, este necesar să se precizeze care elemente sau care este domeniul de aplicare al acestor mulțimi. De exemplu: multime de numere naturale sau multime de numere reale.
Având în vedere un domeniu A în care fiecare element x care îi aparține este transformat de funcție într-un element y care aparține domeniului B, fiecare element y se numește imagine a lui x.
Pentru a desemna domeniul și domeniul unei funcții, se utilizează notația:
(citim f de la A la B)
Aceste legi de transformare sunt expresii care implică operații și valori numerice.
Exemplu
O funcție f: A→B definită de legea de formare f(x) = 2x, unde domeniul ei este mulțimea A={1, 2, 3} iar intervalul B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, poate fi reprezentat prin valorile din tabel și prin diagrame:
|
Domeniu X |
f(x) = 2x |
Imagine și |
|---|---|---|
| 1 | f(1) = 2. 1 | 2 |
| 2 | f(2) = 2. 2 | 4 |
| 3 | f(3) = 2. 3 | 6 |
Organizarea rezultatelor tabelului în diagrame:
Domeniu
Domeniul D al unei funcții f este mulțimea de ieșire, compusă din elementele x aplicate funcției.
Geometric, într-un plan cartezian, elementele domeniului formează axa x a abscisei.
în notație domeniul este reprezentat de litera dinaintea săgeții.
Fiecare element x din domeniu are cel puțin o imagine y în codomeniu.
codomeniu
Domeniul CD este setul de sosire. în notație este reprezentată în partea dreaptă a săgeții.
Imagine
Imaginea Im este un subset al intervalului, format din elementele y care părăsesc funcția și ajung la interval, care poate avea același număr de elemente, sau un număr mai mic.
În acest fel, setul de imagini al unei funcții f este conținut în codomeniu.
Din punct de vedere geometric, într-un plan cartezian elementele mulţimii imaginii formează axa y a ordonatelor.
Este obișnuit să spunem că y este valoarea asumată de funcția f(x) și, în acest fel, scriem:
Este posibil ca același element y să fie o imagine a mai multor elemente x din domeniu.
Exemplu
în funcțiune definite de lege
, pentru valorile x simetrice ale domeniului, avem o singură imagine y.
află mai multe despre funcții.
Domeniu, co-domeniu și exerciții de imagine
Exercitiul 1
Având în vedere mulțimile A = {8, 12, 13, 20, 23} și B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}, determinați: domeniul, intervalul și intervalul funcții.
a) f: A → B definit prin f (x) = 2x + 1
b) f: A → B definit prin f (x) = 3x - 14
a) f: A → B definit prin f (x) = 2x + 1
Domeniul A = {8, 12, 13, 20, 23}
Domeniul B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Imaginea Im (f) ={17,25,27,41,47}
| D(f) | f(x)=2x+1 | sunt (f) |
|---|---|---|
| 8 | f (8)=2,8+1 | 17 |
| 12 | f (12)=2,12+1 | 25 |
| 13 | f (13)=2,13+1 | 27 |
| 20 | f(20)=2,20+1 | 41 |
| 23 | f (23)=2,23+1 | 47 |
b) f: A → B definit prin f (x) = 3x - 14
Domeniul A = {8, 12, 13, 20, 23}
Domeniul B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Imaginea Im (f) ={}
| D(f) | f(x) = 3x - 14 | sunt (f) |
|---|---|---|
8 |
f (8)=3,8 - 14 | 10 |
| 12 | f (12)=3,12 - 14 | 24 |
| 13 | f (13)=3,13 - 14 | 25 |
| 20 | f (20)=3,20 - 14 | 46 |
| 23 | f (23)=3,23 - 14 | 55 |
Exercițiul 2
Determinați domeniul de funcții definit de:
Domeniul este ansamblul de valori posibile pe care le poate lua x.
a) Știm că nu se poate împărți cu zero 0, deci numitorul trebuie să fie diferit de zero.
Citim: x aparține realelor astfel încât x este diferit de 2.
b) Nu există rădăcină pătrată a unui număr negativ. Prin urmare, radicandul trebuie să fie mai mare sau egal cu zero.
Citim: x aparține realelor astfel încât x este mai mare sau egal cu 5.
Exercițiul 3
Având în vedere funcția cu domeniu în mulțimea numerelor întregi care este setul de imagini al lui f(x)?
Mulțimea Z de numere întregi admite atât numere negative, cât și numere pozitive, unde două numere consecutive sunt la distanță de 1 unitate.
În acest fel, funcția admite valori pozitive și negative. Cu toate acestea, deoarece x este pătrat, fiecare valoare, chiar și una negativă, va returna o valoare pozitivă.
Exemplu
f(-2) = (-2)² = -2. (-2) = 4
În acest fel, în imagine vor fi doar numere naturale.
Ați putea fi interesat de:
- functia de injectie
- Funcția surjectivă
- Funcția de bijecție
- Funcție inversă
- Funcția compozită
Aplicații și curiozități
Funcțiile au aplicație în studiul oricărui fenomen în care un parametru depinde de altul. Ca, de exemplu, viteza unei piese de mobilier în timp, efectele unui medicament cu caracteristicile acidității în stomac, temperatura unui cazan cu cantitatea de combustibil.
Funcțiile sunt prezente în fenomene reale și, prin urmare, au aplicație în toate studiile științifice și de inginerie.
Studiul funcțiilor nu este recent, unele înregistrări din Antichitate în tabele babiloniene arată că acestea făceau deja parte din matematică. De-a lungul anilor, notația, felul în care sunt scrise, a primit contribuții de la mai mulți matematicieni și s-a îmbunătățit, până când le folosim astăzi.
