THE functie exponentiala este fiecare funcție a lui ℝ în ℝ*+, definit prin f (x) = aX, unde a este un număr real, mai mare decât zero și nu egal cu 1.
Profitați de exercițiile comentate pentru a vă elimina toate îndoielile cu privire la acest conținut și asigurați-vă că vă verificați cunoștințele în întrebările rezolvate ale concursurilor.
Exerciții comentate
Exercitiul 1
Un grup de biologi studiază dezvoltarea unei anumite colonii de bacterii și a constatat că în condiții ideale, numărul bacteriilor poate fi găsit prin expresia N (t) = 2000. 20,5t, fiind t în ore.
Având în vedere aceste condiții, cât timp după începutul observației va fi numărul de bacterii egal cu 8192000?
Soluţie
În situația propusă, cunoaștem numărul de bacterii, adică știm că N (t) = 8192000 și dorim să găsim valoarea lui t. Deci, doar înlocuiți această valoare în expresia dată:
Pentru a rezolva această ecuație, să scriem numărul 4096 în factori primi, pentru că dacă avem aceeași bază, putem egala exponenții. Prin urmare, luând în considerare numărul, avem:
Astfel, cultura va avea 8 192 000 de bacterii după o zi (24 de ore) de la începutul observației.
Exercițiul 2
Materialele radioactive au o tendință naturală, în timp, de a-și dezintegra masa radioactivă. Timpul necesar pentru dezintegrarea a jumătate din masa sa radioactivă se numește timpul său de înjumătățire.
Cantitatea de material radioactiv dintr-un anumit element este dată de:
Fiind,
N (t): cantitatea de material radioactiv (în grame) într-un timp dat.
N0: cantitatea inițială de material (în grame)
T: timpul de înjumătățire (în ani)
t: timp (în ani)
Având în vedere că timpul de înjumătățire al acestui element este egal cu 28 de ani, determinați timpul necesar pentru ca materialul radioactiv să se reducă la 25% din cantitatea sa inițială.
Soluţie
Pentru situația propusă A (t) = 0,25 A0 = 1/4 A0, deci putem scrie expresia dată, înlocuind T cu 28 de ani, apoi:
Prin urmare, va dura 56 de ani pentru ca cantitatea de material radioactiv să fie redusă cu 25%.
Întrebări despre concurs
1) Unesp - 2018
Ibuprofenul este un medicament prescris pentru durere și febră, cu un timp de înjumătățire de aproximativ 2 ore. Aceasta înseamnă că, de exemplu, după 2 ore de ingerare a 200 mg de ibuprofen, doar 100 mg din medicament vor rămâne în fluxul sanguin al pacientului. După alte 2 ore (4 ore în total), doar 50 mg vor rămâne în sânge și așa mai departe. Dacă un pacient primește 800 mg de ibuprofen la fiecare 6 ore, cantitatea acestui medicament care va rămâne în sânge timp de 14 ore după administrarea primei doze va fi
a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg
Deoarece cantitatea inițială de medicamente în fluxul sanguin la fiecare 2 ore este împărțită la jumătate, putem reprezenta această situație folosind următoarea schemă:
Rețineți că exponentul, în fiecare situație, este egal cu timpul împărțit la 2. Astfel, putem defini cantitatea de medicament din sânge în funcție de timp, folosind următoarea expresie:
Fiind
Q (t): cantitatea într-o oră dată
Î0: suma inițială ingerată
t: timpul în ore
Având în vedere că 800 mg de ibuprofen au fost luate la fiecare 6 ore, atunci avem:
Pentru a găsi cantitatea de medicament în fluxul sanguin la 14 ore după ingerarea primei doze, trebuie să adăugăm cantitățile referitoare la prima, a 2-a și a 3-a doză. Calculând aceste cantități, avem:
Cantitatea primei doze va fi găsită având în vedere timpul egal cu 14 ore, deci avem:
Pentru a doua doză, așa cum se arată în diagrama de mai sus, timpul a fost de 8 ore. Înlocuind această valoare, avem:
Timpul pentru a treia doză va fi de doar 2 ore. Suma aferentă celei de-a treia doze va fi apoi:
Acum că știm cantitățile pentru fiecare doză ingerată, putem găsi cantitatea totală adăugând fiecare dintre cantitățile găsite:
Îtotal= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg
Alternativă b) 456,25 mg
2) UERJ - 2013
Un lac folosit pentru aprovizionarea unui oraș a fost contaminat după un accident industrial, atingând nivelul de toxicitate T0, corespunzând de zece ori nivelul inițial.
Citiți informațiile de mai jos.
- Debitul natural al lacului permite reînnoirea a 50% din volumul său la fiecare zece zile.
- Nivelul de toxicitate T (x), după x zile de accident, poate fi calculat folosind următoarea ecuație:
Luați în considerare D cel mai mic număr de zile de suspendare a alimentării cu apă, necesar pentru ca toxicitatea să revină la nivelul inițial.
Dacă log 2 = 0,3, valoarea lui D este egală cu:
a) 30
b) 32
c) 34
d) 36
Pentru a reveni la nivelul inițial de toxicitate este necesar ca:
Înlocuind această valoare în funcția dată, avem:
Înmulțind în „cruce”, ecuația devine:
2 0,1x= 10
Să aplicăm logaritmul de bază 10 pe ambele părți pentru a-l transforma într-o ecuație de gradul 1:
jurnal (20,1x) = log 10
Amintindu-ne că jurnalul de 10 din baza 10 este egal cu 1, ecuația noastră va arăta astfel:
0,1x. jurnal 2 = 1
Având în vedere că log 2 = 0,3 și înlocuind această valoare în ecuație:
Astfel, cel mai mic număr de zile, aproximativ, furnizarea respectivă ar trebui suspendată este de 34 de zile.
Alternativa c) 34
3) Fuvesp - 2018
Fie f: ℝ → ℝ și g: ℝ+ → ℝ definit de
respectiv.
Graficul funcției compozite gºcredinţă:
Graficul pe care îl căutați este funcția compusă gºf, prin urmare, primul pas este determinarea acestei funcții. Pentru aceasta, trebuie să înlocuim funcția f (x) în x a funcției g (x). Realizând această înlocuire, vom găsi:
Folosind proprietatea logaritmică a coeficientului și a unei puteri, avem:
Rețineți că funcția găsită mai sus este de tip ax + b, care este o funcție afină. Deci, graficul dvs. va fi o linie dreaptă.
De asemenea, panta a este egală cu log10 5, care este un număr pozitiv, deci graficul va crește. În acest fel, putem elimina opțiunile b, c și e.
Rămânem cu opțiunile a și d, totuși, când x = 0 avem gof = - log10 2 care este o valoare negativă așa cum este reprezentată în graficul a.
Alternativa a) 
4) Unicamp - 2014
Graficul de mai jos prezintă curba potențială biotică q (t) pentru o populație de microorganisme în timp t.
Deoarece a și b sunt constante reale, funcția care poate reprezenta acest potențial este
a) q (t) = la + b
b) q (t) = abt
c) q (t) = la2 + bt
d) q (t) = a + log B t
Din graficul prezentat, putem identifica că, atunci când t = 0, funcția este egală cu 1000. Mai mult, este de asemenea posibil să observăm că funcția nu este afină, deoarece graficul nu este o linie dreaptă.
Dacă funcția ar fi de tip q (t) = at2+ bt, când t = 0, rezultatul ar fi egal cu zero și nu 1000. Deci, nici nu este o funcție pătratică.
Cum să vă conectațiB0 nu este definit și nici nu ar putea avea ca răspuns funcția q (t) = a + logBt.
Astfel, singura opțiune ar fi funcția q (t) = abt. Având în vedere t = 0, funcția va fi q (t) = a, deoarece a este o valoare constantă, este suficient să fie egal cu 1000 pentru ca funcția să se potrivească graficului dat.
Alternativa b) q (t) = abt
5) Enem (PPL) - 2015
Sindicatul muncitorilor unei companii sugerează ca salariul clasei să fie de 1.800,00 dolari SUA, propunând o creștere procentuală fixă pentru fiecare an dedicat muncii. Expresia care corespunde propunerii (ofertelor) de salariu, în funcție de vechimea în serviciu (t), în ani, este s (t) = 1800. (1,03)t .
Conform propunerii sindicatului, salariul unui profesionist din această companie cu 2 ani de serviciu va fi, în reali,
a) 7 416,00
b) 3.819,24
c) 3.709,62
d) 3.708,00
e) 1.909,62.
Expresia pentru calcularea salariului în funcție de timp propusă de uniune corespunde unei funcții exponențiale.
Pentru a găsi valoarea salariului în situația indicată, să calculăm valoarea lui s, când t = 2, după cum se indică mai jos:
s (2) = 1800. (1,03)2 = 1800. 1,0609 = 1 909,62
Alternativă e) 1 909,62
Citește și tu:
- Functie exponentiala
- Logaritm
- Logaritm - Exerciții
- Proprietăți logaritmice
- Potențierea
- exerciții de potențare
- Funcția afină
- Funcție liniară
- Exerciții de funcții conexe
- Funcția quadratică
- Funcția quadratică - Exerciții
- Formule matematice
