Dobânda compusă reprezintă corecția aplicată unei sume care a fost împrumutată sau aplicată. Acest tip de corecție se mai numește dobândă asupra dobânzii.
Ca un conținut de mare aplicabilitate, apare frecvent în concursuri, examene de admitere și pe Enem. Prin urmare, utilizați întrebările de mai jos pentru a vă verifica cunoștințele despre acest conținut.
Întrebări comentate
1) Enem - 2018
Un contract de împrumut prevede că, atunci când o rată este plătită în avans, se va acorda o reducere a dobânzii în conformitate cu perioada de avans. În acest caz, valoarea actuală este plătită, care este valoarea la acel moment, a unei sume care ar trebui plătită la o dată viitoare. O valoare actuală P supusă dobânzii compuse la rata i, pentru o perioadă de timp n, produce o valoare viitoare V determinată de formulă
Într-un contract de împrumut cu șaizeci de rate fixe lunare, de 820,00 R $, la o rată a dobânzii de 1,32% pe lună, împreună odată cu a treizecea tranșă, o altă tranșă va fi plătită în avans, cu condiția ca reducerea să fie mai mare de 25% din valoarea porţiune.
Utilizați 0,2877 ca aproximare pentru și 0,0131 ca o aproximare la ln (1,0132).
Prima dintre tranșele care pot fi anticipate împreună cu data de 30 este
a) 56
b) 55
c) 52
d) 51
e) 45
În întrebarea propusă, dorim să aflăm ce tranșă, aplicând reducerea dobânzii la plata în avans, suma plătită are o reducere mai mare de 25%, adică:
Simplificând fracția (împărțind partea de sus și partea de jos la 25), descoperind că suma care trebuie plătită pentru rata în avans trebuie să fie:
Rata anticipată corespunde valorii viitoare corectate la valoarea actuală, adică a redus dobânda de 1,32% la plata acestei rate înainte de termen, adică:
Unde n este egal cu perioada de anticipat. Înlocuind această expresie în cea anterioară, avem:
Deoarece 820 apare pe ambele părți ale inegalității, putem simplifica, „reducând” această valoare:
Putem inversa fracțiile, având grijă să inversăm și semnul inegalității. Deci, expresia noastră este:
Rețineți că valoarea pe care dorim să o găsim este în exponentul (n). Prin urmare, pentru a rezolva inegalitatea, vom aplica logaritmul natural (ln) pe ambele părți ale inegalității, adică:
Acum, putem înlocui valorile indicate în enunț și să găsim valoarea lui n:
Deoarece n trebuie să fie mai mare decât valoarea găsită, atunci va trebui să anticipăm 22 de tranșe, adică vom plăti a 30-a tranșă împreună cu a 52-a (30 + 22 = 52).
Alternativă: c) 52
2) Enem - 2011
Un tânăr investitor trebuie să aleagă ce investiție îi va aduce cel mai mare randament financiar într-o investiție de 500,00 R $. Pentru a face acest lucru, cercetează venitul și impozitul care trebuie plătit pentru două investiții: economii și CDB (certificat de depozit bancar). Informațiile obținute sunt rezumate în tabel:
Pentru tânărul investitor, la sfârșitul unei luni, cea mai avantajoasă aplicație este
a) economii, deoarece vor totaliza 502,80 R $.
b) economii, deoarece vor totaliza 500,56 R $.
c) CDB, deoarece va totaliza o sumă de R $ 504,38.
d) CDB, deoarece va totaliza o sumă de R $ 504,21.
e) CDB, deoarece va totaliza o sumă de R $ 500,87.
Pentru a afla care este cel mai bun randament, să calculăm cât va produce fiecare la sfârșitul unei luni. Deci, să începem prin calcularea veniturilor din economii.
Având în vedere datele problemei, avem:
c = 500,00 BRL
i = 0,560% = 0,0056 a.m.
t = 1 lună
M =?
Înlocuind aceste valori în formula dobânzii compuse, avem:
M = C (1 + i)t
Meconomii = 500 (1 + 0,0056)1
Meconomii = 500.1,0056
Meconomii = 502,80 BRL
La fel ca în acest tip de cerere nu există reducere de impozit pe venit, deci aceasta va fi suma răscumpărată.
Acum, să calculăm valorile pentru CDB. Pentru această aplicație, rata dobânzii este egală cu 0,876% (0,00876). Înlocuind aceste valori, avem:
MCBD = 500 (1+0,00876)1
MCBD = 500.1,00876
MCBD = BRL 504,38
Această sumă nu va fi suma primită de investitor, deoarece în această aplicație există o reducere de 4%, referitoare la impozitul pe venit, care ar trebui aplicat asupra dobânzii primite, după cum se indică muget:
J = M - C
J = 504,38 - 500 = 4,38
Trebuie să calculăm 4% din această valoare, trebuie doar să faceți:
4,38.0,04 = 0,1752
Aplicând această reducere la valoare, găsim:
504,38 - 0,1752 = BRL 504,21
Alternativă: d) CDB, deoarece va totaliza o sumă de R $ 504,21.
3) UERJ - 2017
Un capital în C reai a fost investit la o dobândă compusă de 10% pe lună și a generat, în trei luni, o sumă de 53.240 R $. Calculați valoarea, în reali, a capitalului inițial C.
Avem următoarele date în problemă:
M = 53240,00 BRL
i = 10% = 0,1 pe lună
t = 3 luni
C =?
Înlocuind aceste date în formula dobânzii compuse, avem:
M = C (1 + i)t
53240 = C (1 + 0,1)3
53240 = 1,331 C
4) Fuvest - 2018
Maria dorește să cumpere un televizor care se vinde cu 1.500,00 R $ în numerar sau în 3 rate lunare fără dobândă de 500.00 R $. Banii pe care Maria i-a pus deoparte pentru această achiziție nu sunt suficienți pentru a-i plăti în numerar, dar a descoperit că banca oferă o investiție financiară care câștigă 1% pe lună. După ce a făcut calculele, Maria a concluzionat că, dacă plătește prima rată și, în aceeași zi, aplică suma rămasă, veți putea plăti cele două rate rămase fără a fi nevoie să puneți sau să luați un cent nici măcar. Cât a rezervat Maria pentru această achiziție, în reali?
a) 1.450,20
b) 1.480,20
c) 1.485,20
d) 1.495,20
e) 1.490,20
În această problemă, trebuie să facem echivalența valorilor, adică știm valoarea viitoare care trebuie plătită în fiecare tranșă și dorim să cunoaștem valoarea actuală (capitalul care va fi aplicat).
Pentru această situație folosim următoarea formulă:
Având în vedere că cererea ar trebui să producă 500,00 BRL în momentul plății celei de-a doua tranșe, care va fi la 1 lună de la plata primei tranșe, avem:
Pentru a plăti și cea de-a treia tranșă de 500,00 R $, suma va fi aplicată timp de 2 luni, astfel încât suma aplicată va fi egală cu:
Astfel, suma pe care Maria a pus-o deoparte pentru cumpărare este egală cu suma sumelor aplicate cu suma primei tranșe, adică:
V = 500 + 495,05 + 490,15 = BRL 1.485,20
Alternativă: c) 1.485,20 BRL
5) UNESP - 2005
Mário a luat un împrumut de R $ 8.000,00 cu o dobândă de 5% pe lună. Două luni mai târziu, Mário a plătit R $ 5.000,00 din împrumut și, la o lună după această plată, și-a achitat toată datoria. Valoarea ultimei plăți a fost:
a) 3.015 BRL.
b) 3.820,00 BRL.
c) 4.011,00 BRL.
d) 5.011,00 BRL.
e) 5.250,00 BRL.
Știm că împrumutul a fost plătit în două rate și că avem următoarele date:
VP = 8000
i = 5% = 0,05 a.m
VF1 = 5000
VF2 = x
Având în vedere datele și făcând echivalența capitalurilor, avem:
Alternativă: c) R $ 4.011,00.
6) PUC / RJ - 2000
O bancă percepe o rată a dobânzii de 11% pe lună pentru serviciul său de descoperit de cont. Pentru fiecare 100 de reali de descoperit de cont, banca percepe 111 în prima lună, 123,21 în a doua și așa mai departe. Pe o sumă de 100 de reali, la sfârșitul unui an banca va percepe aproximativ:
a) 150 de reali.
b) 200 de reali
c) 250 de reali.
d) 300 de reali.
e) 350 de reali.
Din informațiile furnizate în problemă, am identificat că corectarea sumei percepute de descoperit de cont se datorează dobânzii compuse.
Rețineți că suma percepută pentru a doua lună a fost calculată luând în considerare suma corectată deja pentru prima lună, adică:
J = 111. 0,11 = BRL 12,21
M = 111 + 12,21 = BRL 123,21
Prin urmare, pentru a găsi suma pe care banca o va percepe la sfârșitul unui an, să aplicăm formula dobânzii compuse, adică:
M = C (1 + i)t
Fiind:
C = 100,00 BRL
i = 11% = 0,11 pe lună
t = 1 an = 12 luni
M = 100 (1 + 0,11)12
M = 100.1.1112
M = 100.3.498
Alternativă: e) 350 de reali
Pentru a afla mai multe despre acest subiect, citiți și:
- Procent
- Cum se calculează procentajul?
- Exerciții procentuale
- Formule matematice
- Matematica în Enem
