Calculul funcției quadratică

THE funcția pătratică, numit si Funcția polinomială de gradul 2, este o funcție reprezentată de următoarea expresie:

f (x) = topor² + bx + c

Unde , B și ç sunt numere reale și ≠ 0.

Exemplu:

f (x) = 2x²+ 3x + 5,

fiind,

a = 2
b = 3
c = 5

În acest caz, polinomul funcției pătratice este de gradul 2, deoarece este cel mai mare exponent al variabilei.

Cum se rezolvă o funcție pătratică?

Verificați pas cu pas printr-un exemplu de rezolvare a funcției pătratice:

Exemplu

Găsiți a, b și c în funcția pătratică dată de: f (x) = ax² + bx + c, fiind:

f (-1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2

În primul rând, să înlocuim X prin valorile fiecărei funcții și astfel vom avea:

f (-1) = 8
la 1)² + b (–1) + c = 8
a - b + c = 8 (ecuația I)

f (0) = 4
. 0² + b. 0 + c = 4
c = 4 (ecuația II)

f (2) = 2
. 2² + b. 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (ecuația III)

Prin a doua funcție f (0) = 4, avem deja valoarea c = 4.

Deci, să înlocuim valoarea obținută cu ç în ecuațiile I și III pentru a determina celelalte necunoscute ( și B):

(Ecuația I)

a - b + 4 = 8
a - b = 4
a = b + 4

instagram story viewer

Deoarece avem ecuația lui prin ecuația I, să înlocuim în III pentru a determina valoarea lui B:

(Ecuația III)

4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = - 2
4 (b + 4) + 2b = - 2
4b + 16 + 2b = - 2
6b = - 18
b = - 3

În cele din urmă, pentru a găsi valoarea înlocuim valorile B și ç care au fost deja găsite. Curând:

(Ecuația I)

a - b + c = 8
a - (- 3) + 4 = 8
a = - 3 + 4
a = 1

Prin urmare, coeficienții funcției pătratice date sunt:

a = 1
b = - 3
c = 4

Rădăcinile funcției

Rădăcinile sau zerourile funcției de gradul doi reprezintă valorile lui x astfel încât f (x) = 0. Rădăcinile funcției sunt determinate prin rezolvarea ecuației de gradul doi:

f (x) = topor² + bx + c = 0

Pentru a rezolva ecuația de gradul 2 putem folosi mai multe metode, una dintre cele mai utilizate fiind aplicarea Formula Bhaskara, adică:

Exemplu

Găsiți zerourile funcției f (x) = x² - 5x + 6.

Soluţie:

Fiind
a = 1
b = - 5
c = 6

Înlocuind aceste valori în formula lui Bhaskara, avem:

$x este egal cu numărătorul minus b plus sau minus rădăcină pătrată a b pătrat minus 4 a c capătul rădăcinii peste numitor 2 capătul fracției este egal cu numărătorul 5 plus sau minus rădăcină pătrată de 25 minus 24 capătul rădăcinii peste numitor 2 capătul fracției x cu 1 indiciu egal cu numărătorul 5 plus 1 peste numitorul 2 sfârșitul fracției egal cu 6 peste 2 egal cu 3 x cu 2 indicele egal cu numărătorul 5 minus 1 peste numitorul 2 sfârșitul fracției egal cu 4 peste 2 este egal cu 2$

Deci rădăcinile sunt 2 și 3.

Rețineți că numărul rădăcinilor unei funcții pătratice va depinde de valoarea obținută de expresia: Δ = b² – 4. B.C, care se numește discriminant.

Prin urmare,

dacă Δ > 0, funcția va avea două rădăcini reale și distincte (x₁ ≠ x₂);
dacă Δ, funcția nu va avea o rădăcină reală;
dacă Δ = 0, funcția va avea două rădăcini reale și egale (x₁ = x₂).

Grafic de funcții quadratic

Graficul funcțiilor de gradul 2 sunt curbe care se numesc parabole. diferit de Funcții de gradul 1, unde cunoașterea a două puncte este posibilă trasarea graficului, în funcțiile pătratice este necesar să se cunoască mai multe puncte.

Curba unei funcții pătratice taie axa x la rădăcinile sau la zerourile funcției, la maximum două puncte, în funcție de valoarea discriminantului (Δ). Deci avem:

Dacă Δ> 0, graficul va tăia axa x în două puncte;
Dacă Δ
Dacă Δ = 0, parabola va atinge axa x într-un singur punct.

Există încă un alt punct, numit vârf al parabolei, care este valoarea maximă sau minimă a funcției. Acest punct se găsește folosind următoarea formulă:

$x cu indicele v egal cu numărătorul minus b peste numitorul 2 până la capătul spațiului spațiului fracțional și spațiul y cu indicele v egal cu numărătorul minus creșterea peste numitorul 4 până la sfârșitul fracției$

Vârful va reprezenta punctul valorii maxime a funcției atunci când parabola este orientată în jos și valoarea minimă atunci când este orientată în sus.

Este posibil să se identifice poziția concavității curbei analizând doar semnul coeficientului . Dacă coeficientul este pozitiv, concavitatea va fi orientată în sus și, dacă este negativă, va fi în jos, adică:

Concavitatea graficului funcției pătratice

Deci, pentru a schița graficul unei funcții de gradul 2, putem analiza valoarea , calculați zerourile funcției, vârful acesteia și, de asemenea, punctul în care curba taie axa y, adică când x = 0.

Din perechile ordonate date (x, y), putem construi parabola num Avion cartezian, prin conexiunea dintre punctele găsite.

Exerciții de examen de admitere cu feedback

1. (Vunesp-SP) Toate valorile posibile ale m care satisfac inegalitatea de 2x² - 20x - 2m> 0, pentru toți X aparținând setului de reali, sunt date de:

a) m> 10
b) m> 25
c) m> 30
d) m e) m

Vezi Răspuns

Alternativa b) m> 25

2. (EU-CE) Graficul funcției pătratice f (x) = ax² + bx este o parabolă al cărei vârf este punctul (1, - 2). Numărul de elemente ale mulțimii x = {(- 2, 12), (–1,6), (3,8), (4, 16)} care aparțin graficului acestei funcții este:

la 1
b) 2
c) 3
d) 4

Vezi Răspuns

Alternativa b) 2

3. (Cefet-SP) Știind că ecuațiile unui sistem sunt x. y = 50 și x + y = 15, valorile posibile pentru X și y sunt:

a) {(5.15), (10.5)}
b) {(10.5), (10.5)}
c) {(5.10), (15.5)}
d) {(5.10), (5.10)}
e) {(5.10), (10.5)}

Vezi Răspuns

Alternativă e) {(5.10), (10.5)}

Citește și: