Teorema lui Pitagora indică faptul că, într-un triunghi dreptunghiular, măsura pătrată a hipotenuzei este egală cu suma pătratelor măsurilor piciorului.
Profitați de exercițiile rezolvate și comentate pentru a vă răspunde la toate îndoielile cu privire la acest conținut important.
Exerciții propuse (cu rezoluție)
intrebarea 1
Carlos și Ana au plecat de acasă pentru a lucra din același punct, garajul clădirii în care locuiesc. După 1 min, parcurgând o cale perpendiculară, erau la 13 m distanță.
Dacă mașina lui Carlos a făcut cu 7 m mai mult decât a Anei în acea perioadă, cât de departe erau de garaj?
a) Carlos era la 10 m de garaj și Ana la 5 m.
b) Carlos era la 14 m de garaj și Ana la 7 m.
c) Carlos se afla la 12 m de garaj și Ana la 5 m.
d) Carlos se afla la 13 m de garaj și Ana la 6 m.
Răspuns corect: c) Carlos se afla la 12 m de garaj și Ana la 5 m.
Laturile triunghiului dreptunghiular format în această întrebare sunt:
- hipotenuză: 13 m
- picior mai mare: 7 + x
- picior mai scurt: x
Aplicând valorile din teorema lui Pitagora, avem:
Acum aplicăm formula lui Bhaskara pentru a găsi valoarea lui x.
Deoarece este o măsură a lungimii, trebuie să folosim valoarea pozitivă. Prin urmare, laturile triunghiului dreptunghiular format în această întrebare sunt:
- hipotenuză: 13 m
- picior mai lung: 7 + 5 = 12 m
- picior mai scurt: x = 5 m
Astfel, Ana era la 5 metri de garaj, iar Carlos era la 12 metri.
intrebarea 2
Carla, când își căuta pisoiul, l-a văzut deasupra unui copac. Apoi i-a cerut ajutor mamei ei și au așezat o scară lângă copac pentru a ajuta pisica să coboare.
Știind că pisica se afla la 8 metri de sol și baza scării era poziționată la 6 metri de copac, cât timp a fost folosită scara pentru a salva pisoiul?
a) 8 metri.
b) 10 metri.
c) 12 metri.
d) 14 metri.
Răspuns corect: b) 10 metri.
Rețineți că înălțimea la care se află pisica și distanța la care a fost poziționată baza scării formează un unghi drept, adică un unghi de 90 de grade. Deoarece scara este poziționată opus unghiului drept, atunci lungimea acesteia corespunde hipotenuzei triunghiului dreptunghiular.
Aplicând valorile date în teorema lui Pitagora descoperim valoarea hipotenuzei.
Prin urmare, scara are o lungime de 10 metri.
întrebarea 3
Conform măsurilor prezentate în alternativele de mai jos, care prezintă valorile unui triunghi dreptunghiular?
a) 14 cm, 18 cm și 24 cm
b) 21 cm, 28 cm și 32 cm
c) 13 cm, 14 cm și 17 cm
d) 12 cm, 16 cm și 20 cm
Răspuns corect: d) 12 cm, 16 cm și 20 cm.
Pentru a afla dacă măsurile prezentate formează un triunghi dreptunghiular, trebuie să aplicăm teorema lui Pitagora la fiecare alternativă.
a) 14 cm, 18 cm și 24 cm
b) 21 cm, 28 cm și 32 cm
c) 13 cm, 14 cm și 17 cm
d) 12 cm, 16 cm și 20 cm
Prin urmare, măsurile de 12 cm, 16 cm și 20 cm corespund laturilor unui triunghi dreptunghiular, deoarece pătratul hipotenuzei, cea mai lungă latură, este egală cu suma pătratului picioarelor.
întrebarea 4
Observați următoarele figuri geometrice, care au o latură situată în ipotenuza unui triunghi dreptunghiular care măsoară 3 m, 4 m și 5 m.
Găsiți înălțimea (h) triunghiului echilateral BCD și valoarea diagonală (d) a pătratului BCFG.
a) h = 4,33 m și d = 7,07 m
b) h = 4,72 m și d = 8,20 m
c) h = 4,45 m și d = 7,61 m
d) h = 4,99 m și d = 8,53 m
Răspuns corect: a) h = 4,33 m și d = 7,07 m.
Deoarece triunghiul este echilateral, înseamnă că cele trei laturi ale sale au aceeași măsură. Prin trasarea unei linii care corespunde înălțimii triunghiului, îl împărțim în două triunghiuri dreptunghiulare.
Același lucru este valabil și cu pătratul. Când îi trasăm linia diagonală, putem vedea două triunghiuri dreptunghiulare.
Aplicând datele din enunțul din teorema lui Pitagora, descoperim valorile după cum urmează:
1. Calculul înălțimii triunghiului (piciorul triunghi drept):
Ajungem apoi la formula de calcul a înălțimii. Acum, doar înlocuiți valoarea lui L și calculați-o.
2. Calculul diagonalei pătratului (hipotenuza triunghiului dreptunghiular):
Prin urmare, înălțimea triunghiului echilateral BCD este 4,33, iar valoarea diagonală a pătratului BCFG este 7,07.
Vezi și tu: teorema lui Pitagora
Problemele examenului de admitere au fost rezolvate
întrebarea 5
(Cefet / MG - 2016) Un zmeu, a cărui figură este prezentată mai jos, a fost construit în formatul patrulater ABCD, fiind și
. bățul
zmeului intersectează tija
în punctul său mediu E, formând un unghi drept. În construcția acestui zmeu, măsurile de
utilizate sunt, respectiv, 25 cm și 20 cm, iar măsurarea
este egal
a măsurii de
.
În aceste condiții, măsura , în cm, este egal cu
a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.
Alternativă corectă: c) 55.
Privind figura din întrebare, vedem că segmentul DE, pe care dorim să îl găsim, este același cu segmentul BD prin scăderea segmentului BE.
Deci, după cum știm că segmentul BE este egal cu 20 cm, atunci trebuie să găsim valoarea segmentului BD.
Rețineți că problema ne oferă următoarele informații:
Deci, pentru a găsi măsura BD, trebuie să cunoaștem valoarea segmentului AC.
Deoarece punctul E împarte segmentul în două părți egale (punctul mediu), atunci . Prin urmare, primul pas este de a găsi măsura segmentului CE.
Pentru a găsi măsurarea CE, am identificat că triunghiul BCE este un dreptunghi, că BC este hipotenuza și BE și CE sunt picioarele, așa cum se arată în imaginea de mai jos:
Vom aplica apoi teorema lui Pitagora pentru a găsi măsura piciorului.
252 = 202+ x2
625 = 400 + x2
X2 = 625 - 400
X2 = 225
x = √225
x = 15 cm
Pentru a găsi gulerul, am fi putut observa, de asemenea, că triunghiul este pitagoric, adică măsurătorile laturilor sale sunt numere multiple ale măsurătorilor triunghiului 3, 4, 5.
Astfel, atunci când înmulțim 4 cu 5 avem valoarea gulerului (20) și dacă înmulțim 5 cu 5 avem hipotenuza (25). Prin urmare, cealaltă gamă ar putea avea doar 15 (5. 3).
Acum că am găsit valoarea CE, putem găsi celelalte măsuri:
AC = 2. CE ⇒ AC = 2,15 = 30 cm
Prin urmare, măsura de este egal cu 55 cm.
Vezi și tu: Pitagora
întrebarea 6
(IFRS - 2017) Luați în considerare un triunghi echilateral cu o latură de 5√3 ܿ݉. Care este înălțimea și aria acestui triunghi, respectiv?
Alternativă corectă: e) 7,5 cm și 75√3 / 4 cm2
Mai întâi, să desenăm triunghiul echilateral și să trasăm înălțimea, așa cum se arată în imaginea de mai jos:
Rețineți că înălțimea împarte baza în două segmente de aceeași măsură, deoarece triunghiul este echilateral. De asemenea, rețineți că triunghiul ACD din figură este un triunghi dreptunghiular.
Astfel, pentru a găsi măsura înălțimii, vom folosi teorema lui Pitagora:
Cunoscând măsurarea înălțimii, putem găsi aria prin formula:
întrebarea 7
(IFRS - 2016) În figura de mai jos, valoarea lui x și, respectiv, este
Alternativă corectă: a) 4√2 și √97.
Pentru a găsi valoarea lui x, să aplicăm teorema lui Pitagora triunghiului dreptunghiular care are laturi egale cu 4 cm.
X2 = 42 + 42
X2 = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm
Pentru a găsi valoarea lui y, vom folosi și teorema lui Pitagora, considerând acum că un picior măsoară 4 cm și celălalt 9 cm (4 + 5 = 9).
y2 = 42 + 92
y2 = 16 + 81
y = √97 cm
Prin urmare, valoarea lui x și, respectiv, a este 4√2 și √97.
întrebarea 8
(Apprentice Sailor - 2017) Uită-te la figura de mai jos.
În figura de mai sus, există un triunghi isoscel ACD, în care segmentul AB măsoară 3 cm, latura inegală AD măsoară 10√2 cm, iar segmentele AC și CD sunt perpendiculare. Prin urmare, este corect să afirmăm că segmentul BD măsoară:
a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm
Alternativă corectă: d) √149 cm
Având în vedere informațiile prezentate în problemă, construim figura de mai jos:
Conform figurii, constatăm că, pentru a găsi valoarea lui x, va fi necesar să găsim măsura laturii pe care o numim a.
Deoarece triunghiul ACD este un dreptunghi, vom aplica teorema lui Pitagora pentru a găsi valoarea piciorului a.
Acum că știm valoarea lui a, putem găsi valoarea lui x luând în considerare triunghiul dreptunghic BCD.
Rețineți că piciorul BC este egal cu măsurarea piciorului minus 3 cm, adică 10 - 3 = 7 cm. Aplicând teorema lui Pitagora acestui triunghi, avem:
Prin urmare, este corect să afirmăm că segmentul BD măsoară √149 cm.
întrebarea 9
(IFRJ - 2013) Curtea de sport de pe Campusul Arrozal al unui Institut Federal este dreptunghiulară, lungă 100 m și lată 50 m, reprezentată de dreptunghiul ABCD din această figură.
Alberto și Bruno sunt doi studenți, care fac sport în curte. Alberto merge din punctul A în punctul C de-a lungul diagonalei dreptunghiului și revine la punctul de plecare de-a lungul aceleiași căi. Bruno începe de la punctul B, ocolește complet curtea, mergând de-a lungul liniilor laterale și se întoarce la punctul de plecare. Astfel, având în vedere √5 = 2.24, se afirmă că Bruno a mers mai mult decât Alberto
a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.
Alternativă corectă: c) 76 m.
Diagonala dreptunghiului îl împarte în două triunghiuri dreptunghiulare, hipotenuza fiind diagonala și laturile egale cu laturile dreptunghiului.
Deci, pentru a calcula măsura diagonală, să aplicăm teorema lui Pitagora:
În timp ce Alberto a mers și s-a întors, așa că a parcurs 224 m
Bruno a parcurs o distanță egală cu perimetrul dreptunghiului, cu alte cuvinte:
p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m
Prin urmare, Bruno a mers cu 76 m mai mult decât Alberto (300 - 112 = 76 m).
întrebarea 10
(Enem - 2017) Pentru a decora o masă de petrecere pentru copii, un bucătar va folosi un pepene sferic cu un diametru de 10 cm, care va servi drept suport pentru frigăruiul diferitelor dulciuri. Acesta va elimina un capac sferic din pepene galben, așa cum se arată în figură și, pentru a asigura stabilitatea acestui suport, făcând dificilă rularea pepenelui pe masă, șeful va tăia astfel încât raza r a secțiunii de tăiere circulară să fie păroasă. minus 3 cm. Pe de altă parte, bucătarul-șef va dori să aibă cea mai mare zonă posibilă din regiune unde vor fi fixate dulciurile.
Pentru a-și atinge toate obiectivele, șeful trebuie să taie capacul de pepene galben la o înălțime h, în centimetri, egală cu
Alternativă corectă: c) 1
Observând figura prezentată în întrebare, am identificat că înălțimea h poate fi găsită prin scăderea măsurii segmentului OA de la măsura razei sferei (R).
Raza sferei (R) este egală cu jumătate din diametrul acesteia, care în acest caz este egal cu 5 cm (10: 2 = 5).
Deci, trebuie să găsim valoarea segmentului OA. Pentru aceasta, vom lua în considerare triunghiul OAB reprezentat în figura de mai jos și vom aplica teorema lui Pitagora.
52 = 32 + x2
X2 = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm
Am putea găsi, de asemenea, valoarea lui x direct, menționând că este triunghiul pitagoric 3,4 și 5.
Deci valoarea lui h va fi egală cu:
h = R - x
h = 5 - 4
h = 1 cm
Prin urmare, bucătarul ar trebui să taie capacul de pepene galben la înălțimea de 1 cm.
întrebarea 11
(Enem - 2016 - a doua aplicație) Boccia este un sport jucat pe terenuri, care sunt terenuri plane și plane, limitate de platforme perimetrice din lemn. Obiectivul acestui sport este de a arunca baloane, care sunt mingi dintr-un material sintetic, pentru a așezați-le cât mai aproape posibil de bolim, care este o bilă mai mică, de preferință din oțel, anterior lansat. Figura 1 ilustrează o minge de bocci și un bolim care au fost jucate pe un teren. Să presupunem că un jucător a aruncat o minge, cu o rază de 5 cm, care a fost sprijinită de bolim, cu o rază de 2 cm, așa cum se arată în figura 2.
Luați în considerare punctul C ca centrul mingii și punctul O ca centrul mingii. Se știe că A și B sunt punctele în care mingea de bocci și respectiv bollinul ating terenul terenului și că distanța dintre A și B este egală cu d. În aceste condiții, care este raportul dintre d și raza bolimului?
Alternativă corectă: e) √10
Pentru a calcula valoarea distanței d dintre punctele A și B, să construim o figură care să unească centrele celor două sfere, așa cum se arată mai jos:
Rețineți că figura punctată albastră are forma unui trapez. Să împărțim acest trapez, așa cum se arată mai jos:
Prin împărțirea trapezului, obținem un dreptunghi și un triunghi dreptunghiular. Hipotenuza triunghiului este egală cu suma razei mingii de bocce cu raza bolimului, adică 5 + 2 = 7 cm.
Măsurarea unuia dintre picioare este egală cu d, iar măsurarea celuilalt picior este egală cu măsurarea segmentului CA, care este raza mingii de bocce, minus raza bolimului (5 - 2 = 3) .
În acest fel, putem găsi măsura lui d, aplicând teorema lui Pitagora acestui triunghi, adică:
72 = 32 - de2
d2 = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10
Prin urmare, raportul dintre distanța d și bolim va fi dat de:.
întrebarea 12
(Enem - 2014) Zilnic, o reședință consumă 20 160 Wh. Această reședință are 100 de celule solare dreptunghiular (dispozitive capabile să transforme lumina soarelui în energie electrică) de 6 cm x 8 cm. Fiecare astfel de celulă produce, pe tot parcursul zilei, 24 Wh pe centimetru de diagonală. Proprietarul acestei case dorește să producă, pe zi, exact aceeași cantitate de energie pe care o consumă casa sa. Ce ar trebui să facă acest proprietar pentru a-și atinge scopul?
a) Scoateți 16 celule.
b) Scoateți 40 de celule.
c) Adăugați 5 celule.
d) Adăugați 20 de celule.
e) Adăugați 40 de celule.
Alternativă corectă: a) Scoateți 16 celule.
În primul rând, va trebui să aflați care este puterea de energie a fiecărei celule. Pentru aceasta, trebuie să găsim măsura diagonalei dreptunghiului.
Diagonala este egală cu hipotenuza triunghiului cu picioare egale cu 8 cm și 6 cm. Vom calcula apoi diagonala aplicând teorema lui Pitagora.
Cu toate acestea, observăm că triunghiul în cauză este pitagoric, fiind un multiplu al triunghiului 3,4 și 5.
În acest fel, măsurarea hipotenuzei va fi egală cu 10 cm, deoarece laturile triunghiului pitagoric 3,4 și 5 sunt înmulțite cu 2.
Acum că știm măsurarea diagonală, putem calcula energia produsă de cele 100 de celule, adică:
E = 24. 10. 100 = 24 000 Wh
Deoarece energia consumată este egală cu 20 160 Wh, va trebui să reducem numărul de celule. Pentru a găsi acest număr vom face:
24 000 - 20 160 = 3 840 Wh
Împărțind această valoare la energia produsă de o celulă, găsim numărul care ar trebui redus, adică:
3 840: 240 = 16 celule
Prin urmare, acțiunea proprietarului pentru ca acesta să își atingă obiectivul ar trebui să fie eliminarea a 16 celule.
Pentru a afla mai multe, consultați și: Exerciții de trigonometrie
