Când studiem mulțimea numerelor raționale, găsim câteva fracții care, convertite în numere zecimale, devin zecimale periodice. Pentru a efectua această transformare, trebuie să împărțim numărătorul fracției la numitorul acesteia, ca în cazul fracției 
. La fel, printr-o zecimală periodică, putem găsi fracția care a dat naștere ei. Această fracție se numește „generând fracțiune”.
În orice zecimală periodică, numărul care se repetă se numește cursul timpului. În exemplul dat, avem o zecimală periodică simplă, iar perioada este numărul 6. Printr-o ecuație simplă, putem găsi fracția generatoare de 0,6666…
În primul rând, putem afirma că:
X = 0,666...
De acolo, verificăm câte cifre are perioada. În acest caz, perioada are o cifră. Deci, să înmulțim ambele părți ale ecuației cu 10, dacă perioada ar avea 2 cifre, ne-am înmulți cu 100, în cazul celor 3 cifre, cu 1000 și așa mai departe. Deci, vom avea:
10X = 6,666...
În al doilea membru al ecuației, putem sparge numărul 6.666... într-un număr întreg și o altă zecimală după cum urmează:
10 X = 6 + 0,666...
Cu toate acestea, chiar la început am afirmat că X = 0.666..., deci putem înlocui partea zecimală a ecuației cu x și rămânem cu:
10 x = 6 + X
Folosind proprietățile de bază ale ecuațiilor, putem modifica apoi variabila x de la a doua la prima parte a ecuației:
10 x - x = 6
Rezolvând ecuația, vom avea:
9 x = 6
x = 6
9
Simplificând fracția cu 3, avem:
x = 2
3
Curând, 
, adică, 
este fracția generatoare a zecimalei periodice 0,66666... .
Să vedem când avem o zecimală periodică compusă, ca în cazul lui 0,03131… Vom începe în același mod:
X = 0,03131...
Pentru a face această egalitate mai asemănătoare cu exemplul anterior, trebuie să o schimbăm astfel încât să nu avem niciun număr între semnul egal și punct. Pentru aceasta, să înmulțim ecuația cu 10:
10 X = 0,313131... ***
Urmând raționamentul utilizat în primul exemplu, avem că zecimala periodică are o perioadă de două cifre, deci să înmulțim ecuația cu 100.
1000 X = 31,313131...
Acum este suficient să spargi întreaga parte a zecimalului, în al doilea membru al egalității.
1000 X = 31 + 0,313131...
ci de ***, Noi trebuie sa 10 X = 0,313131..., să înlocuim numărul zecimal cu 10 X.
1000 X = 31 + 10 X
1000 X - 10 x = 31
990 X = 31
X = 31
990
Deci fracția generatoare de 0,0313131… é 31 . Această regulă poate fi aplicată tuturor zecimilor periodice.
990
De Amanda Gonçalves
Absolvent în matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/geratriz-uma-dizima-periodica.htm
