Zona figurilor plate: Exerciții rezolvate și comentate

Zona plană a figurii reprezintă întinderea extensiei figurii în plan. Ca figuri plate, putem menționa triunghiul, dreptunghiul, rombul, trapezul, cercul, printre altele.

Folosiți întrebările de mai jos pentru a vă verifica cunoștințele despre acest subiect important al geometriei.

Problemele concursului au fost rezolvate

intrebarea 1

(Cefet / MG - 2016) Suprafața pătrată a unui site trebuie împărțită în patru părți egale, de asemenea pătrate și, într-una dintre ele, trebuie menținută o rezervație forestieră nativă (zonă eclozionată), așa cum se arată în figura a urma.

Întrebare Cefet-mg 2016 suprafața cifrelor plate

Știind că B este punctul mediu al segmentului AE și C este punctul mediu al segmentului EF, zona hașurată, în m², dă-mi

a) 625,0.
b) 925,5.
c) 1562,5.
d) 2500,0.

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: c) 1562.5.

Observând figura, observăm că aria hașurată corespunde zonei pătratului cu latura de 50 m minus aria triunghiurilor BEC și CFD.

Măsurarea laturii BE, a triunghiului BEC, este egală cu 25 m, deoarece punctul B împarte latura în două segmente congruente (punctul mediu al segmentului).

instagram story viewer

La fel se întâmplă și cu laturile EC și CF, adică măsurătorile lor sunt de asemenea egale cu 25 m, deoarece punctul C este punctul de mijloc al segmentului EF.

Astfel, putem calcula aria triunghiurilor BEC și CFD. Având în vedere cele două laturi cunoscute ca bază, cealaltă parte va egala înălțimea, deoarece triunghiurile sunt dreptunghiuri.

Calculând aria pătratului și a triunghiurilor BEC și CFD, avem:

$dreapta A cu indicele pătrat este egală cu dreapta L pătrat dreapta A cu indicele pătrat AEFD sfârșitul indicelui egal cu 50,50 egal cu 2500 spațiu drept m pătrat drept A cu increment de indice egal cu numărător drept B. dreapta h peste numitorul 2 sfârșitul fracției dreapta A cu increment BED subscript sfârșitul subscriptului egal cu numărătorul 25.25 peste numitorul 2 sfârșitul fracției egală cu 625 peste 2 egală cu 312 virgulă 5 spațiu drept m pătrat drept A cu increment CFD indicele sfârșitul indicelui egal cu numeratorul 25,50 peste numitor 2 capătul fracției egal cu 1250 peste 2 egal cu 625 spațiu drept m pătrat drept O suprafață spațială spațiu spațiu hașurat va fi spațiu găsit spațiu făcând minus dacă două puncte drepte A cu indice drept h egal cu 2500 minus 625 minus 312 virgulă 5 egal cu 1562 virgulă 5 spațiu drept m ao pătrat$

Prin urmare, zona eclozionată, în m², măsuri 1562,5.

intrebarea 2

(Cefet / RJ - 2017) Un pătrat cu latura x și un triunghi echilateral cu latura y au zone de aceeași măsură. Astfel, se poate spune că raportul x / y este egal cu:

$dreapta o paranteză dreaptă numerator spațiu rădăcină pătrată de 6 peste numitor 4 capătul fracției drept b paranteză dreaptă spațiu 3 peste 2 drept paranteză c spațiu dreapta numărător rădăcină pătrată a 3 peste numitorul 4 sfârșitul fracției drept d paranteză numărătorul drept rădăcină a patra a 3 peste numitorul 2 sfârșitul fracțiune$

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: $dreapta d paranteză dreaptă numărător a patra rădăcină a 3 peste numitorul 2 capătul fracției$ .

Informațiile date în problemă sunt că zonele sunt aceleași, adică:

dreapta A cu pătrat de indice este egală cu dreapta A cu triunghi de indice

Aria triunghiului se găsește înmulțind măsurarea de bază cu măsurarea înălțimii și împărțind rezultatul la 2. Deoarece triunghiul este echilateral și latura egală cu y, valoarea înălțimii sale este dată de:

$dreapta h este egal cu numărătorul drept L rădăcina pătrată a lui 3 peste numitorul 2 capătul fracției este egal cu numărătorul drept y rădăcina pătrată a lui 3 peste numitorul 2 capătul fracției Înlocuirea spațiu acest spațiu valoare spațiu în spațiu formula spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu triunghi spațiu virgulă avem două puncte drepte A cu triunghi de indice egal cu numărător drept b. dreapta h peste numitorul 2 capătul fracției egal cu numărătorul drept y. paranteză stângă start stil arată numerator drept y rădăcină pătrată de 3 peste numitor 2 sfârșitul fracției sfârșit de stil paranteză dreaptă peste numitor 2 sfârșit de fracție egală cu numărător dreaptă y pătrată rădăcină pătrată de 3 peste numitor 4 sfârșitul fracției Egalizarea spațiului ca arii spațiale două puncte drepte x pătrat egal un numărător drept y pătrat rădăcină pătrată de 3 peste numitorul 4 sfârșitul fracției Calculul spațiului drept raport spațiu două puncte drept x pătrat peste drept y la pătrat este egal cu numărătorul rădăcină pătrată de 3 peste numitor 4 capătul fracției săgeata dublă la dreapta dreaptă x peste dreapta y este egal cu rădăcina pătrată a numărătorului de rădăcină pătrat de 3 peste numitor 4 capătul fracției capătul rădăcinii săgeata dublă la dreapta dreaptă x peste dreaptă y egal cu numărătorul a patra rădăcină a 3 peste numitorul 2 sfârșitul fracțiune$

Prin urmare, se poate spune că raportul x / y este egal cu $numărător a patra rădăcină a 3 peste numitorul 2 sfârșitul fracției$ .

întrebarea 3

(IFSP - 2016) Un pătrat public în formă de cerc are o rază de 18 metri. În lumina celor de mai sus, marcați alternativa care vă prezintă zona.

a) 1.017,36 m²
b) 1.254,98 m²
c) 1.589,77 m²
d) 1.698,44 m²
e) 1.710,34 m²

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: a) 1 017, 36 m².

Pentru a găsi aria pătratului, trebuie să folosim formula pentru aria cercului:

A = π.R²

Înlocuind valoarea razei și considerând π = 3,14, găsim:

A = 3,14. 18² = 3,14. 324 = 1 017, 36 m²

Prin urmare, suprafața pătrată este de 1 017, 36 m².

întrebarea 4

(IFRS - 2016) Un dreptunghi are dimensiunile x și y, care sunt exprimate prin ecuațiile x²= 12 și (y - 1)² = 3.

Perimetrul și aria acestui dreptunghi sunt respectiv

a) 6√3 + 2 și 2 + 6√3
b) 6√3 și 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 și 12
d) 6 și 2√3
e) 6√3 + 2 și 2√3 + 6

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: e) 6√3 + 2 și 2√3 + 6.

Mai întâi să rezolvăm ecuațiile, pentru a găsi valorile lui x și y:

X²= 12 ⇒ x = √12 = √4.3 = 2√3
(y - 1) ²= 3 ⇒ y = √3 + 1

Perimetrul dreptunghiului va fi egal cu suma tuturor laturilor:

P = 2.2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2

Pentru a găsi zona, trebuie doar să multiplicați x.y:

A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6

Prin urmare, perimetrul și aria dreptunghiului sunt, respectiv, 6√3 + 2 și 2√3 + 6.

întrebarea 5

(Apprentice Sailor - 2016) Analizați următoarea figură:

Întrebare 2016 pentru zona de ucenic marin

Știind că EP este raza semicercului central în E, așa cum se arată în figura de mai sus, determinați valoarea celei mai întunecate zone și verificați opțiunea corectă. Date: numărul π = 3

a) 10 cm²
b) 12 cm²
c) 18 cm²
d) 10 cm²
e) 24 cm²

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: b) 12 cm².

Cea mai întunecată zonă se găsește adăugând aria semicircumferinței la aria triunghiului ABD. Să începem prin a calcula aria triunghiului, pentru asta, rețineți că triunghiul este un dreptunghi.

Să numim partea AD a lui x și să-i calculăm măsura folosind teorema lui Pitagora, așa cum se indică mai jos:

5²= x² + 3²
X² = 25 - 9
x = √16
x = 4

Cunoscând măsura laterală AD, putem calcula aria triunghiului:

$dreapta A cu triunghi ABD indicele sfârșitul indicelui egal cu numărătorul 3.4 peste numitorul 2 capătul fracției egal cu 12 peste 2 egal cu 6 spațiu cm pătrat$

Mai trebuie să calculăm aria semicircumferinței. Rețineți că raza sa va fi egală cu jumătate din măsurarea pe partea AD, deci r = 2 cm. Zona semicircumferinței va fi egală cu:

$dreapta A egal cu πr pătrat peste 2 egal cu numărător 3.2 pătrat peste numitor 2 capătul fracției egal cu 6 spațiu cm pătrat$

Cea mai întunecată zonă va fi găsită făcând: A_T= 6 + 6 = 12 cm²

Prin urmare, valoarea celei mai întunecate zone este de 12 cm².

întrebarea 6

(Enem - 2016) Un bărbat, tată a doi copii, vrea să cumpere două terenuri, cu suprafețe de aceeași măsură, câte unul pentru fiecare copil. Unul dintre terenurile vizitate este deja delimitat și, deși nu are un format convențional (așa cum se arată în Figura B), el a mulțumit fiului cel mare și, prin urmare, a fost cumpărat. Fiul cel mic are un proiect arhitectural pentru o casă pe care vrea să o construiască, dar pentru asta are nevoie a unui teren în formă dreptunghiulară (așa cum se arată în figura A) a cărui lungime este cu 7 m mai mare decât lăţime.

Întrebare Enem 2016 suprafața unui teren

Pentru a-l satisface pe cel mai mic fiu, acest domn trebuie să găsească o bucată de teren dreptunghiulară ale cărei măsurători, în metri, lungime și lățime sunt egale, respectiv, cu

a) 7.5 și 14.5
b) 9.0 și 16.0
c) 9.3 și 16.3
d) 10.0 și 17.0
e) 13.5 și 20.5

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: b) 9.0 și 16.0.

Deoarece aria figurii A este egală cu aria figurii B, să calculăm mai întâi această zonă. Pentru aceasta, să împărțim Figura B, așa cum se arată mai jos:

Întrebarea suprafeței terenului Enem 2016

Rețineți că atunci când împărțim figura, avem două triunghiuri dreptunghiulare. Prin urmare, aria figurii B va fi egală cu suma ariilor acestor triunghiuri. Calculând aceste zone, avem:

$dreaptă A cu dreaptă B 1 capătul indicelui egal al numărătorului 21,3 peste numitorul 2 capătul fracției egal cu 63 peste 2 egal cu 31 virgulă 5 spațiu drept m pătrat drept A cu drept B 2 capătul indicelui egal al numărătorului 15,15 peste numitorul 2 capătul fracției egal cu 225 peste 2 este egal cu 112 virgulă 5 spațiu drept m pătrat drept A cu indice drept B este egal cu 112 virgulă 5 plus 31 virgulă 5 este egal cu 144 spațiu drept m ao pătrat$

Deoarece figura A este un dreptunghi, aria sa se găsește făcând:

THE_THE = x. (x + 7) = x²+ 7x

Echivalând aria figurii A cu valoarea găsită pentru aria figurii B, găsim:

X² + 7x = 144
X² + 7x - 144 = 0

Să rezolvăm ecuația de gradul 2 folosind formula lui Bhaskara:

$increment egal cu 49 minus 4.1. paranteză stânga minus 144 paranteză dreaptă increment egal cu 49 plus 576 increment egal cu 625 drept x cu 1 indicele egal cu numărătorul minus 7 plus 25 peste numitorul 2 sfârșitul fracției egal cu 18 peste 2 egal cu 9 drepte x cu 2 indicele egal cu numărătorul minus 7 minus 25 peste numitorul 2 capătul fracției este egal cu numărătorul minus 32 peste numitorul 2 capătul fracției este egal cu minus 16 la puterea spațiului în gol$

Deoarece o măsură nu poate fi negativă, să considerăm doar valoarea egală cu 9. Prin urmare, lățimea terenului din figura A va fi egală cu 9 m, iar lungimea va fi egală cu 16 m (9 + 7).

Prin urmare, măsurătorile de lungime și lățime trebuie să fie egale cu 9,0 și respectiv 16,0.

întrebarea 7

(Enem - 2015) O companie de telefonie mobilă are două antene care vor fi înlocuite cu una nouă, mai puternică. Zonele de acoperire ale antenelor care vor fi înlocuite sunt cercuri cu o rază de 2 km, ale căror circumferințe sunt tangente la punctul O, așa cum se arată în figură.

Punctul O indică poziția noii antene, iar regiunea de acoperire a acesteia va fi un cerc a cărui circumferință va tangenta extern circumferințele zonelor de acoperire mai mici. Odată cu instalarea noii antene, măsurarea suprafeței de acoperire, în kilometri pătrați, a fost extinsă cu

a) 8 π
b) 12 π
c) 16 π
d) 32 π
e) 64 π

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: a) 8 π.

Mărirea măsurării zonei de acoperire se va găsi prin scăderea zonelor cercurilor mai mici ale cercului mai mare (referindu-se la noua antenă).

Deoarece circumferința noii regiuni de acoperire atinge exterior circumferințele mai mici, raza sa va fi egală cu 4 km, așa cum se indică în figura de mai jos:

Să calculăm suprafețele A₁ si₂a cercurilor mai mici și a zonei A₃ din cercul mai mare:

THE₁= A₂ = 2². π = 4 π
THE₃ = 4².π = 16 π

Măsurarea suprafeței mărite se va găsi făcând:

A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π

Prin urmare, odată cu instalarea noii antene, măsura suprafeței de acoperire, în kilometri pătrați, a fost mărită cu 8 π.

întrebarea 8

(Enem - 2015) Diagrama I arată configurația unui teren de baschet. Trapezele cenușii, numite boabe, corespund unor zone restricționate.

În scopul îndeplinirii orientărilor Comitetului Central al Federației Internaționale de Baschet (Fiba) în 2010, care a unificat marcajele a diferitelor aliaje, a fost prevăzută o modificare în coloanele curților, care ar deveni dreptunghiuri, așa cum se arată în schemă II.

După efectuarea modificărilor planificate, a existat o modificare a zonei ocupate de fiecare sticlă, care corespunde unui (a)

a) creștere de 5800 cm².
b) 75 400 cm creștere².
c) creștere de 214 600 cm².
d) scădere de 63 800 cm².
e) scădere de 272 600 cm².

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: a) creștere de 5800 cm².

Pentru a afla care a fost modificarea zonei ocupate, să calculăm aria înainte și după schimbare.

În calculul schemei I, vom folosi formula pentru aria trapezului. În diagrama II, vom folosi formula pentru aria dreptunghiului.

$dreapta A cu indicele I drept egal cu numeratorul paranteză stânga drept B plus drept b paranteză dreaptă. dreapta h peste numitorul 2 capătul fracției dreapta A cu indicele I drept egal cu numeratorul paranteză stânga 600 plus 360 paranteză dreapta.580 peste numitor 2 capătul fracției egal cu 278 spațiu 400 spațiu cm pătrat drept A cu indicele II egal cu drept B. drept h drept A cu indicele II egal cu 580.490 egal cu 284 spațiu 200 spațiu cm pătrat$

Schimbarea zonei va fi apoi:

A = A_II- A_Eu
A = 284 200 - 278 400 = 5 800 cm²

Prin urmare, după efectuarea modificărilor planificate, a existat o modificare a suprafeței ocupate de fiecare carabină, ceea ce corespunde unei creșteri de 5800 cm².

Exerciții propuse (cu rezoluție)

întrebarea 9

Ana a decis să construiască o piscină dreptunghiulară în casa ei măsurând 8 m la bază și 5 m înălțime. În jurul său, în formă de trapez, era umplut cu iarbă.

Știind că înălțimea trapezului este de 11 m și bazele sale sunt de 20 m și 14 m, care este aria părții care a fost umplută cu iarbă?

a) 294 m²
b) 153 m²
c) 147 m²
d) 216 m²

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: c) 147 m².

Întrucât dreptunghiul, care reprezintă bazinul, este inserat într-o figură mai mare, trapezul, să începem prin a calcula aria figurii externe.

Aria trapezoidală este calculată utilizând formula:

$drept Un spațiu este egal cu spațiul numărătorului paranteză stângă drept B spațiu plus spațiu drept b spațiu paranteză dreaptă. spațiul drept h peste numitorul 2 capătul fracției$

Unde,

B este măsura celei mai mari baze;
b este măsura celei mai mici baze;
h este înălțimea.

Înlocuind datele declarației din formulă, avem:

$drept Un spațiu este egal cu spațiul numărătorului paranteză stângă drept B spațiu plus spațiu drept b spațiu paranteză dreaptă. spațiu drept h peste numitor 2 capătul spațiului fracției egal cu spațiul numărător paranteză stângă 20 spațiu drept m spațiu plus spațiu 14 spațiu drept m spațiu paranteză dreaptă. spațiu 11 spațiu drept m peste numitorul 2 capătul fracției egal cu numărătorul spațiu 374 spațiu drept m pătrat peste numitorul 2 capătul fracției spațiu egal cu spațiul 187 spațiu drept m pătrat$

Acum, să calculăm aria dreptunghiului. Pentru aceasta, trebuie doar să înmulțim baza cu înălțimea.

drept Un spațiu este egal cu spațiul drept b spațiu. spațiu drept h spațiu este egal cu spațiul 8 spațiu drept m spațiu. spațiu 5 spațiu drept m spațiu egal cu spațiu 40 spațiu drept m pătrat

Pentru a găsi zona acoperită de iarbă, trebuie să scădem spațiul ocupat de piscină din zona trapezului.

187 spațiu drept m spațiu pătrat minus spațiu 40 spațiu drept m la puterea a 2 spațiu capăt exponențial egal cu spațiu 147 spațiu drept m pătrat

Prin urmare, suprafața umplută cu iarbă a fost de 147 m².

Vezi și tu: Zona Trapez

întrebarea 10

Pentru a renova acoperișul depozitului său, Carlos a decis să cumpere țigle coloniale. Folosind acest tip de acoperiș, sunt necesare 20 de piese pentru fiecare metru pătrat de acoperiș.

Dacă acoperișul locului este format din două plăci dreptunghiulare, ca în figura de mai sus, câte țigle trebuie să cumpere Carlos?

a) 12000 de dale
b) 16000 de dale
c) 18000 de dale
d) 9600 de dale

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: b) 16000 de dale.

Acoperișul depozitului este format din două plăci dreptunghiulare. Prin urmare, trebuie să calculăm aria unui dreptunghi și să înmulțim cu 2.

dreapta A spațiu este egal cu spațiul drept B spațiu. spațiu drept h spațiu este egal cu spațiul 40 spațiu drept m spațiu. spațiu 10 spațiu drept m spațiu egal cu spațiu 400 spațiu drept m spațiu pătrat spațiu 2 spațiu drept x spațiu 400 spațiu drept m la puterea de 2 spațiu capăt exponențial egal cu spațiu 800 spațiu drept m pătrat

Prin urmare, suprafața totală a acoperișului este de 800 m.². Dacă fiecare metru pătrat are nevoie de 20 de țigle, folosind o regulă simplă de trei calculăm câte țigle umplu acoperișul fiecărui depozit.

$rând de masă cu celulă cu 1 spațiu drept m pătrat capătul celulei minus celulă cu 20 spații dale sfârșitul rândului de celule cu celulă cu 800 spațiu drept m sfârșit pătrat al celulei minus drept x rând cu gol gol gol rând cu dreaptă x egală cu celula cu numărător 20 spațiu plăci spațiu drept x spațiu 800 spațiu diagonal tăiat peste drept m pătrat sfârșitul tăierii peste numitorul 1 spațiu tăiat diagonal în sus peste dreaptă capătul pătrat al capătului fracționat capătul liniei celulare cu dreapta x este egal cu celula cu 16000 de dale spațiale capătul capătului celulei masa$

Prin urmare, va fi necesar să cumpărați 16 mii de dale.

Vezi și tu: Zona dreptunghiului

întrebarea 11

Marcia ar dori două vaze identice din lemn pentru a decora intrarea în casa ei. Pentru că nu putea cumpăra decât unul dintre preferatele sale, a decis să angajeze un dulgher pentru a construi o altă vază cu aceleași dimensiuni. Vaza trebuie să aibă patru laturi într-o formă trapezoidală isoscelă, iar baza este pătrată.

Fără a lua în considerare grosimea lemnului, câți metri pătrați de lemn vor fi necesari pentru a reproduce piesa?

a) 0,2131 m²
b) 0,1311 m²
c) 0,2113 m²
d) 0,3121 m²

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: d) 0,3121 m².

Un trapez isoscel este tipul care are părți egale și baze de dimensiuni diferite. Din imagine, avem următoarele măsurători ale trapezului pe fiecare parte a navei:

Baza mai mică (b): 19 cm;
Baza mai mare (B): 27 cm;
Înălțime (h): 30 cm.

Cu valorile în mână, calculăm aria trapezului:

$drept Un spațiu este egal cu spațiul numărătorului paranteză stângă drept B spațiu plus spațiu drept b spațiu paranteză dreapta. spațiu drept h peste numitor 2 capătul fracției spațiu egal cu spațiul numerator paranteză stânga 27 spațiu cm spațiu plus spațiu 19 spațiu cm spațiu paranteză dreapta. spațiu 30 spațiu cm peste numitorul 2 capătul fracției spațiu egal cu numărătorul spațiului 1380 spațiu cm pătrat peste numitorul 2 capătul fracției spațiu egal cu spațiul 690 spațiu cm pătrat$

Deoarece vasul este format din patru trapezoide, trebuie să înmulțim aria găsită cu patru.

4 spațiu drept x spațiu 690 spațiu cm spațiu pătrat egal cu spațiul 2760 spațiu cm pătrat

Acum trebuie să calculăm baza vazei, care este formată dintr-un pătrat de 19 cm.

drept Un spațiu este egal cu spațiul drept L spațiu. spațiu drept L spațiu egal cu spațiul 19 spațiu cm spațiu drept x spațiu 19 spațiu cm spațiu egal cu spațiul 361 spațiu cm pătrat

Adăugând suprafețele calculate ajungem la suprafața totală de lemn care urmează să fie folosită la construcție.

dreapta A cu spatiu indice t drept egal cu spatiu 2760 spatiu cm spatiu patrat plus spatiu 361 spatiu cm spatiu patrat egal cu spatiu 3121 spatiu cm patrat

Cu toate acestea, zona trebuie prezentată în metri pătrați.

3121 spațiu cm pătrat spațiu colon spațiu 10000 spațiu egal cu spațiul 0 virgulă 3121 spațiu drept m pătrat

Prin urmare, fără a lua în considerare grosimea lemnului, a fost nevoie de 0,3121 m² de material pentru fabricarea vazei.

Vezi și tu: Zona pătrată

întrebarea 12

Pentru a facilita calculul numărului de oameni care participă la evenimente publice, se consideră în general că un metru pătrat este ocupat de patru persoane.

Pentru a sărbători aniversarea unui oraș, guvernul a angajat o trupă care să cânte în piața din centru, care are o suprafață de 4000 m². Știind că piața era plină, aproximativ câte persoane au participat la eveniment?

a) 16 mii de oameni.
b) 32 de mii de persoane.
c) 12 mii de persoane.
d) 40 de mii de oameni.

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: a) 16 mii de persoane.

Un pătrat are patru laturi egale și are aria sa calculată prin formula: A = L x L.

dacă în 1 m² este ocupat de patru persoane, deci de 4 ori suprafața totală a pătratului ne oferă estimarea persoanelor care au participat la eveniment.