THE ecuația de gradul II își primește numele deoarece este o ecuație polinomială al cărei termen de cel mai înalt grad este pătrat. Numită și ecuație pătratică, este reprezentată de:
topor2 + bx + c = 0
Într-o ecuație de gradul 2, X este necunoscutul și reprezintă o valoare necunoscută. deja versurile , B și ç se numesc coeficienți de ecuație.
Coeficienții sunt numere reale și coeficientul trebuie să fie diferit de zero, altfel devine o ecuație de gradul 1.
Rezolvarea unei ecuații de gradul doi înseamnă căutarea valorilor reale ale X, care fac ecuația adevărată. Aceste valori sunt numite rădăcinile ecuației.
O ecuație pătratică are cel mult două rădăcini reale.
Ecuații de liceu complete și incomplete
Ecuații de gradul 2 complet sunt cei care au toți coeficienții, adică a, b și c sunt diferiți de zero (a, b, c ≠ 0).
De exemplu, ecuația 5x2 + 2x + 2 = 0 este complet deoarece toți coeficienții sunt diferiți de zero (a = 5, b = 2 și c = 2).
O ecuație pătratică este incomplet când b = 0 sau c = 0 sau b = c = 0. De exemplu, ecuația 2x2 = 0 este incomplet deoarece a = 2, b = 0 și c = 0
Exerciții rezolvate
1) Determinați valorile X care fac ecuația 4x2 - 16 = 0 adevărat.
Soluţie:
Ecuația dată este o ecuație incompletă de gradul 2, cu b = 0. Pentru ecuațiile de acest tip, putem rezolva izolând X. Prin urmare:
Rețineți că rădăcina pătrată a lui 4 poate fi 2 și - 2, deoarece aceste două numere pătrate rezultă în 4.
Deci rădăcinile ecuației 4x2 - 16 = 0 sunt x = - 2 și x = 2
2) Găsiți valoarea lui x astfel încât aria dreptunghiului de mai jos să fie egală cu 2.
Soluţie:
Aria dreptunghiului se găsește înmulțind baza cu înălțimea. Deci, trebuie să înmulțim valorile date și egale cu 2.
(x - 2). (x - 1) = 2
Acum să multiplicăm toți termenii:
X. x - 1. x - 2. x - 2. (- 1) = 2
X2 - 1x - 2x + 2 = 2
X2 - 3x + 2 - 2 = 0
X2 - 3x = 0
După rezolvarea multiplicărilor și simplificărilor, găsim o ecuație pătratică incompletă, cu c = 0.
Acest tip de ecuație poate fi rezolvat prin factorizarea, pentru că X se repetă în ambii termeni. Așa că o vom pune în evidență.
X. (x - 3) = 0
Pentru ca produsul să fie egal cu zero, fie x = 0, fie (x - 3) = 0. Cu toate acestea, înlocuind X la zero, măsurătorile laturilor sunt negative, deci această valoare nu va fi răspunsul la întrebare.
Deci, avem că singurul rezultat posibil este (x - 3) = 0. Rezolvarea acestei ecuații:
x - 3 = 0
x = 3
În acest fel, valoarea X astfel încât aria dreptunghiului să fie egală cu 2 este x = 3.
Formula Bhaskara
Când o ecuație pătratică este completă, folosim Formula Bhaskara pentru a găsi rădăcinile ecuației.
Formula este prezentată mai jos:
Formula Delta
În formula lui Bhaskara, apare litera greacă Δ (delta), care se numește ecuația discriminantă, deoarece în funcție de valoarea ei este posibil să se cunoască numărul de rădăcini pe care le va avea ecuația.
Pentru a calcula delta folosim următoarea formulă:
Pas cu pas
Pentru a rezolva o ecuație de gradul 2, folosind formula lui Bhaskara, trebuie să urmăm acești pași:
Primul pas: Identificați coeficienții , B și ç.
Termenii ecuației nu apar întotdeauna în aceeași ordine, deci este important să știm cum să identificăm coeficienții, indiferent de secvența în care se află.
coeficientul este numărul care merge cu x2, O B este numărul care însoțește X este ç este termenul independent, adică numărul care apare fără x.
Pasul 2: Calculați delta.
Pentru a calcula rădăcinile este necesar să cunoaștem valoarea deltei. Pentru a face acest lucru, înlocuim literele din formulă cu valorile coeficientului.
Putem, din valoarea delta, să știm în prealabil numărul de rădăcini pe care îl va avea ecuația de gradul 2. Adică, dacă valoarea lui Δ este mai mare decât zero (Δ > 0), ecuația va avea două rădăcini reale și distincte.
Dacă dimpotrivă, delta este mai mică decât zero (Δ), ecuația nu va avea rădăcini reale și dacă este egală cu zero (Δ = 0), ecuația va avea o singură rădăcină.
Pasul 3: Calculați rădăcinile.
Dacă valoarea găsită pentru delta este negativă, nu mai trebuie să faceți alte calcule și răspunsul este că ecuația nu are rădăcini reale.
Dacă valoarea delta este egală sau mai mare decât zero, trebuie să înlocuim toate literele cu valorile lor din formula lui Bhaskara și să calculăm rădăcinile.
Exercițiu rezolvat
Determinați rădăcinile ecuației 2x2 - 3x - 5 = 0
Soluţie:
Pentru a rezolva acest lucru, trebuie mai întâi să identificăm coeficienții, deci avem:
a = 2
b = - 3
c = - 5
Acum putem găsi valoarea delta. Trebuie să fim atenți la regulile semnelor și să ne amintim că trebuie să rezolvăm mai întâi potențarea și multiplicarea, apoi adunarea și scăderea.
Δ = (- 3)2 - 4. (- 5). 2 = 9 +40 = 49
Deoarece valoarea găsită este pozitivă, vom găsi două valori distincte pentru rădăcini. Deci, trebuie să rezolvăm formula lui Bhaskara de două ori. Deci avem:
Deci rădăcinile ecuației 2x2 - 3x - 5 = 0 sunt x = 5/2 și x = - 1.
Sistemul de ecuații de gradul 2
Când vrem să găsim valori a două necunoscute diferite care să satisfacă simultan două ecuații, avem un sistem de ecuații.
Ecuațiile care alcătuiesc sistemul pot fi de gradul 1 și gradul 2. Pentru a rezolva acest tip de sistem putem folosi metoda de substituție și metoda adunării.
Exercițiu rezolvat
Rezolvați sistemul de mai jos:
Soluţie:
Pentru a rezolva sistemul, putem folosi metoda adăugării. În această metodă, adăugăm termeni similari din ecuația 1 cu cei din ecuația a 2-a. Deci, reducem sistemul la o singură ecuație.
Încă putem simplifica toți termenii din ecuație cu 3 și rezultatul va fi ecuația x2 - 2x - 3 = 0. Rezolvând ecuația, avem:
Δ = 4 - 4. 1. (- 3) = 4 + 12 = 16
După găsirea valorilor x, nu trebuie să uităm că trebuie totuși să găsim valorile y care fac ca sistemul să fie adevărat.
Pentru a face acest lucru, trebuie doar să înlocuiți valorile găsite pentru x într-una din ecuații.
y1 - 6. 3 = 4
y1 = 4 + 18
y1 = 22
y2 - 6. (-1) = 4
y2 + 6 = 4
y2 = - 2
Prin urmare, valorile care satisfac sistemul propus sunt (3, 22) și (-1, - 2)
Ați putea fi, de asemenea, interesat de Ecuația de gradul I.
Exerciții
intrebarea 1
Rezolvați ecuația pătratică completă folosind Formula lui Bhaskara:
2x2 + 7x + 5 = 0
În primul rând, este important să se respecte fiecare coeficient din ecuație, prin urmare:
a = 2
b = 7
c = 5
Prin formula discriminantului ecuației, trebuie să găsim valoarea lui Δ.
Aceasta este pentru a găsi ulterior rădăcinile ecuației prin formula generală sau formula lui Bhaskara:
Δ = 72 – 4. 2. 5
Δ = 49 - 40
Δ = 9
Rețineți că, dacă valoarea lui Δ este mai mare decât zero (Δ > 0), ecuația va avea două rădăcini reale și distincte.
Deci, după ce am găsit Δ, să-l înlocuim în formula lui Bhaskara:
Prin urmare, valorile celor două rădăcini reale sunt: X1 = - 1 și X2 = - 5/2
Consultați mai multe întrebări la Ecuația liceului - Exerciții
intrebarea 2
Rezolvați ecuațiile incomplete de gradul II:
a) 5x2 - x = 0
În primul rând, căutăm coeficienții ecuației:
a = 5
b = - 1
c = 0
Este o ecuație incompletă unde c = 0.
Pentru a-l calcula putem folosi factorizarea, care în acest caz pune x în evidență.
5x2 - x = 0
X. (5x-1) = 0
În această situație, produsul va fi egal cu zero când x = 0 sau când 5x -1 = 0. Deci, să calculăm valoarea lui x:
Deci rădăcinile ecuației sunt X1 = 0 și X2 = 1/5.
b) 2x2 – 2 = 0
a = 2
b = 0
c = - 2
Este o ecuație de gradul doi incompletă, unde b = 0, calculul său se poate face prin izolarea x:
X1 = 1 și x2 = - 1
Deci cele două rădăcini ale ecuației sunt X1 = 1 și X2 = - 1
c) 5x2 = 0
a = 5
b = 0
c = 0
În acest caz, ecuația incompletă prezintă coeficienți b și c egali cu zero (b = c = 0):
Prin urmare, rădăcinile acestei ecuații au valori X1 = X2 = 0
Pentru a afla mai multe, citiți și:
- Funcția quadratică
- Suma și produsul
- inegalitate
- ecuații iraționale
- Vârful Parabolei
