Exerciții de set numeric

Tu seturi numerice include următoarele seturi: Naturale (ℕ), Numere întregi (ℤ), Raționale (ℚ), iraționale (I), Reale (ℝ) și Complexe (ℂ).

Profitați de exercițiile comentate pentru a vă verifica cunoștințele despre acest subiect important de matematică.

intrebarea 1

Care propunere de mai jos este adevărată?

a) Fiecare număr întreg este rațional și fiecare număr real este un număr întreg.
b) Intersecția mulțimii numerelor raționale cu mulțimea numerelor iraționale are 1 element.
c) Numărul 1.83333... este un număr rațional.
d) Împărțirea a două numere întregi este întotdeauna un număr întreg.

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: c) Numărul 1.83333... este un număr rațional.

Să ne uităm la fiecare dintre afirmații:

a) Fals. De fapt, fiecare număr întreg este rațional, deoarece poate fi scris sub forma unei fracții. De exemplu, numărul -7, care este un număr întreg, poate fi scris ca o fracție ca -7/1. Cu toate acestea, nu fiecare număr real este un număr întreg, de exemplu 1/2 nu este un număr întreg.

b) Fals. Mulțimea numerelor raționale nu are un număr comun cu cele iraționale, întrucât un număr real este fie rațional, fie irațional. Prin urmare, intersecția este un set gol.

c) Adevărat. Numărul 1.83333... este o zeciuială periodică, deoarece cifra 3 se repetă infinit. Acest număr poate fi scris ca o fracțiune ca 11/6, deci este un număr rațional.

d) Fals. De exemplu, 7 împărțit la 3 este egal cu 2,333333..., care este o zecimală periodică, deci nu este un număr întreg.

intrebarea 2

Valoarea expresiei de mai jos, când a = 6 și b = 9, este:

a) un număr natural impar
b) un număr care aparține setului de numere iraționale
c) nu este un număr real
d) un număr întreg al cărui modul este mai mare de 2

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: d) un întreg al cărui modul este mai mare de 2.

Mai întâi să înlocuim literele cu valorile indicate și să rezolvăm expresia:

Rețineți că (-6)² este diferit de - 6², prima operație se poate face ca: (-6)² = (- 6). (- 6) = 36. Fără paranteze, doar 6 este pătrat, adică - 6² = - (6.6) = -36.

Continuând rezoluția, avem:

Rețineți că, deoarece indicele rădăcinii este un număr impar (rădăcină cubică), există o rădăcină de număr negativ în setul de numere reale. Dacă indicele rădăcină ar fi un număr par, rezultatul ar fi un număr complex.

Acum, să analizăm fiecare dintre opțiunile prezentate:

Optiunea este greșit, deoarece răspunsul este un număr negativ care nu face parte din setul de numere naturale.

Numărul - 3 nu este o infinită zecimală neperiodică, prin urmare, nu este o irațională, de unde și litera B nici nu este soluția potrivită.

Scrisoarea ç este, de asemenea, greșit, deoarece numărul - 3 este un număr aparținând mulțimii numerelor reale.

Opțiunea corectă poate fi doar litera d și de fapt rezultatul expresiei este un număr întreg și modulul lui -3 este 3 care este mai mare decât 2.

întrebarea 3

În seturile (A și B) din tabelul de mai jos, ce alternativă reprezintă o relație de incluziune?

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: a)

Alternativa "a" este singura în care un set este inclus în altul. Setul A include setul B sau Setul B este inclus în A.

Deci, care afirmații sunt corecte?

I - A C B
II - B C A
III - A B
IV - B Ɔ A

a) I și II.
b) I și III.
c) I și IV.
d) II și III.
e) II și IV

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: d) II și III.

I - Greșit - A nu este conținut în B (A Ȼ B).
II - Corect - B este conținut în A (B C A).
III - Corect - A conține B (B Ɔ A).
IV - Greșit - B nu conține A (B ⊅ A).

întrebarea 4

Avem mulțimea A = {1, 2, 4, 8 și 16} și mulțimea B = {2, 4, 6, 8 și 10}. Conform alternativelor, unde sunt situate elementele 2, 4 și 8?

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: c).

Elementele 2, 4 și 8 sunt comune ambelor seturi. Prin urmare, acestea sunt situate în subsetul A ∩ B (o intersecție cu B).

întrebarea 5

Dat fiind mulțimile A, B și C, ce imagine reprezintă A U (B ∩ C)?

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: d)

Singura alternativă care satisface condiția inițială a lui B ∩ C (din cauza parantezelor) și, mai târziu, unirea cu A.

întrebarea 6

A fost realizat un sondaj pentru a afla despre obiceiurile de cumpărare ale consumatorilor în raport cu trei produse. Cercetarea a obținut următoarele rezultate:

• 40% cumpără produsul A.
• 25% cumpără produsul B.
• 33% cumpără produsul C.
• 20% cumpără produsele A și B.
• 5% cumpără produsele B și C.
• 19% cumpără produsele A și C.
• 2% cumpără toate cele trei produse.

Pe baza acestor rezultate, răspundeți:

a) Ce procent de respondenți nu cumpără niciunul dintre aceste produse?
b) Ce procent din respondenți cumpără produsele A și B și nu cumpără produsul C?
c) Ce procent din respondenți cumpără cel puțin unul dintre produse?

Vezi Răspuns

Răspunsuri:
a) 44% dintre respondenți nu consumă niciunul dintre cele trei produse.
b) 18% dintre persoanele care consumă ambele produse (A și B) nu consumă produsul C.
c) 56% dintre respondenți consumă cel puțin unul dintre produse.

Pentru a rezolva această problemă, să facem o diagramă pentru a vizualiza mai bine situația.

Trebuie să începem întotdeauna de la intersecția celor trei seturi. Apoi vom include valoarea intersecției a două seturi și, în cele din urmă, procentul de oameni care cumpără doar o singură marcă de produs.

Se observă că procentul de persoane care consumă două produse include și procentul de persoane care consumă cele trei produse.

Prin urmare, în diagramă indicăm procentul celor care consumă numai două produse. Pentru a face acest lucru, trebuie să scădem procentul celor care consumă cele trei produse de la cei care consumă două.

De exemplu, procentul indicat care consumă produsul A și produsul B este de 20%, cu toate acestea această valoare este reprezentată de 2% legat de cine consumă cele trei produse.

Prin scăderea acestor valori, adică 20% - 2% = 18%, găsim procentul de consumatori care cumpără numai produsele A și B.

Având în vedere aceste calcule, diagrama pentru situația descrisă va fi așa cum se arată în figura de mai jos:

Pe baza acestei diagrame, putem continua să răspundem la întrebările propuse.

) Procentul celor care nu cumpără niciun produs este egal cu întregul, adică 100%, cu excepția faptului că consumă orice produs. Deci, trebuie să facem următorul calcul:

100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%

Curând, 44% dintre respondenți nu consumă niciunul dintre cele trei produse.

B) Procentul de consumatori care cumpără produsele A și B și nu cumpără produsul C se găsește prin scăderea:

20 - 2 = 18%

Prin urmare, 18% dintre persoanele care consumă ambele produse (A și B) nu consumă produsul C.

ç) Pentru a găsi procentul de persoane care consumă cel puțin unul dintre produse, trebuie doar să adunați toate valorile din diagramă. Deci avem:

3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%

Prin urmare, 56% dintre respondenți consumă cel puțin unul dintre produse.

întrebarea 7

(Enem / 2004) Un producător de produse cosmetice decide să producă trei cataloage diferite ale produselor sale, vizând publicuri diferite. Deoarece unele produse vor fi prezente în mai multe cataloage și vor ocupa o pagină întreagă, el decide să facă un număr pentru a reduce cheltuielile cu originalele tipărite. Catalogele C1, C2 și C3 vor avea, respectiv, 50, 45 și 40 de pagini. Comparând desenele din fiecare catalog, el constată că C1 și C2 vor avea 10 pagini în comun; C1 și C3 vor avea 6 pagini în comun; C2 și C3 vor avea 5 pagini în comun, dintre care 4 vor fi și pe C1. Efectuând calculele corespunzătoare, producătorul a concluzionat că, pentru asamblarea celor trei cataloage, va avea nevoie de un total de originale tipărite egale cu:

a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: c) 118

Putem rezolva această întrebare construind o diagramă. Pentru aceasta, să începem cu paginile care sunt comune celor trei cataloage, adică 4 pagini.

De acolo, vom indica valorile, scăzându-le pe cele care au fost deja contabilizate. Astfel, diagrama va fi cea indicată mai jos:

Valorile au fost găsite făcând următoarele calcule:

• Intersecția C1, C2 și C3: 4
• Intersecția C2, C3: 5 - 4 = 1
• Intersecția C1 și C3: 6 - 4 = 2
• Intersecția C1 și C2: 10 - 4 = 6
• Doar C1: 50 - 12 = 38
• Doar C2: 45 - 11 = 34
• Doar C3: 40 - 7 = 33

Pentru a găsi numărul de pagini, trebuie doar să adăugați toate aceste valori, adică:

4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118

întrebarea 8

(Enem / 2017) În acest model de termometru, fileurile înregistrează temperaturile minime și maxime din ziua precedentă iar fileurile gri înregistrează temperatura ambiantă curentă, adică în momentul citirii termometru.

Deci are două coloane. În stânga, numerele sunt în ordine crescătoare, de sus în jos, de la -30 ° C la 50 ° C. În coloana din dreapta, numerele sunt ordonate în ordine crescătoare, de jos în sus, de la -30 ° C la 50 ° C.

Citirea se face după cum urmează:

• temperatura minimă este indicată de nivelul inferior al fileului negru din coloana din stânga.
• temperatura maximă este indicată de nivelul inferior al fileului negru din coloana din dreapta.
• temperatura actuală este indicată de nivelul superior din fileurile gri din cele două coloane.

Care este cea mai apropiată temperatură maximă înregistrată pe acest termometru?

a) 5 ° C
b) 7 ° C
c) 13 ° C
d) 15 ° C
e) 19 ° C

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: e) 19 ° C

Pentru a rezolva problema, trebuie doar să citiți scala din coloana din dreapta a fileului negru, care reprezintă înregistrarea temperaturii maxime.

întrebarea 9

(Enem / 2017) Rezultatul unui sondaj electoral, privind preferința alegătorilor în raport cu doi candidați, a fost reprezentat prin intermediul Graficului 1.

Când acest rezultat a fost publicat într-un ziar, Graficul 1 a fost tăiat în timpul machetei, așa cum se arată în Graficul 2.

Deși valorile prezentate sunt corecte și lățimea coloanelor este aceeași, mulți cititori a criticat formatul graficului 2 tipărit în ziar, susținând că există daune vizuale pentru candidat B. Diferența dintre raporturile de înălțime ale coloanei B la coloana A din graficele 1 și 2 este:

a) 0
b) 1/2
c) 1/5
d) 2/15
e) 8/35

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: e) 8/35

Pentru a rezolva problema, mai întâi trebuie să găsim raportul dintre înălțimea coloanei B și coloana A în cele două grafice. Aceste rapoarte se găsesc numărând câte diviziuni există în fiecare coloană.

Rețineți că în graficul 1, coloana A este împărțită în 7 „bucăți” egale, în timp ce coloana B în 3. În graficul 2, coloana A este împărțită în 5 „bucăți” egale, iar coloana B doar în 1.

Prin urmare, fracțiile care reprezintă raporturile dintre înălțimea coloanei B și coloana A pot fi indicate prin

Acum rezolvați doar scăderea dintre aceste două fracții, deci avem:

întrebarea 10

(Enem / 2018) Pentru a crea un logo, un profesionist din domeniul designului grafic vrea să îl construiască folosind setul de puncte plane în formă de triunghi, exact așa cum se arată în imagine.

Pentru a construi o astfel de imagine utilizând un instrument grafic, va fi necesar să scrieți algebric setul care reprezintă punctele acestui grafic.

Acest set este dat de perechile ordonate (x; y) ℕ X ℕ, astfel încât
a) 0 ≤. x ≤ y ≤ 10
b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
c) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
d) 0 ≤ x + y ≤ 10
e) 0 ≤ x + y ≤ 20

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10

Rețineți că cifra exprimată în întrebare, atât pe axa y, cât și pe axa x, cuprinde numerele naturale (ℕ X ℕ) între 0 și 10. Noi trebuie sa: 0 ≤ y ≤ 10 și 0 ≤ x ≤ 10.

Astfel: y = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) și x = (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10 ). Cu toate acestea, figura descrisă este un triunghi. Pentru a satisface această condiție, în perechi ordonate y nu poate fi mai mare decât x.

Rețineți că valorile lui y sunt limitate de egalitate cu valorile lui x, formând ipotenuza acestui triunghi dreptunghiular: (0,0), (1; 1), (2; 2), (3; 3 ), (4; 4), (5; 5)... (10; 10).

Astfel, trebuie să: y ≤ x.

Curând, 0 ≤ y ≤ x ≤ 10.

Pentru a afla mai multe, citiți și:

• Seturi numerice
• numere reale
• Întregi
• Numere rationale
• numere irationale
• Numere naturale
• Numere complexe
• Exerciții pe seturi
• Exerciții privind numerele complexe