unu ecuația de gradul II este întreaga ecuație în formă topor2 + bx + c = 0, cu a, b și c numere reale și a ≠ 0. Pentru a rezolva o ecuație de acest tip, puteți utiliza diferite metode.
Utilizați rezoluțiile comentate ale exercițiilor de mai jos pentru a vă elimina toate îndoielile. De asemenea, asigurați-vă că vă testați cunoștințele cu întrebările rezolvate ale concursului.
Exerciții comentate
Exercitiul 1
Vârsta mamei mele înmulțită cu vârsta mea este egală cu 525. Dacă când m-am născut mama avea 20 de ani, câți ani am?
Soluţie
Având în vedere vârsta mea egală cu X, putem considera apoi că vârsta mamei mele este egală cu x + 20. Cum știm valoarea produsului din epocile noastre, atunci:
X. (x + 20) = 525
Aplicând proprietățile distributive ale multiplicării:
X2 + 20 x - 525 = 0
Ajungem apoi la o ecuație completă de gradul 2, cu a = 1, b = 20 și c = - 525.
Pentru a calcula rădăcinile ecuației, adică valorile lui x unde ecuația este egală cu zero, să folosim formula lui Bhaskara.
În primul rând, trebuie să calculăm valoarea lui ∆:
Pentru a calcula rădăcinile, folosim:
Înlocuind valorile din formula de mai sus, vom găsi rădăcinile ecuației, astfel:
Deoarece vârsta mea nu poate fi negativă, disprețuim valoarea -35. Deci rezultatul este 15 ani.
Exercițiul 2
Un pătrat, reprezentat în figura de mai jos, are o formă dreptunghiulară și aria sa este egală cu 1 350 m2. Știind că lățimea acestuia corespunde cu 3/2 înălțimea sa, determinați dimensiunile pătratului.
Soluţie
Având în vedere că înălțimea sa este egală cu X, lățimea va fi apoi egală cu 3 / 2x. Aria unui dreptunghi este calculată prin înmulțirea bazei sale cu valoarea înălțimii. În acest caz, avem:
Ajungem la o ecuație incompletă de gradul 2, cu a = 3/2, b = 0 și c = - 1350, putem calcula acest tip de ecuație izolând x și calculând valoarea rădăcinii pătrate.
Deoarece valoarea lui x reprezintă măsura înălțimii, vom ignora - 30. Astfel, înălțimea dreptunghiului este egală cu 30 m. Pentru a calcula lățimea, să multiplicăm această valoare cu 3/2:
Prin urmare, lățimea pătrată este egală cu 45 m iar înălțimea sa este egală cu 30 m.
Exercițiul 3
Deci x = 1 este rădăcina ecuației 2ax2 + (Al doilea2 - a - 4) x - (2 + a2) = 0, valorile lui a ar trebui să fie:
a) 3 și 2
b) - 1 și 1
c) 2 și - 3
d) 0 și 2
e) - 3 și - 2
Soluţie
Pentru a găsi valoarea lui a, să înlocuim mai întâi x cu 1. În acest fel, ecuația va arăta astfel:
2.a.12 + (Al doilea2 - până la - 4). 1 - 2 - a2 = 0
2 + 22 - la - 4 - 2 - la2 = 0
2 + la - 6 = 0
Acum, trebuie să calculăm rădăcina ecuației complete de gradul 2, pentru aceasta vom folosi formula lui Bhaskara.
Prin urmare, alternativa corectă este litera C.
Întrebări despre concurs
1) Epcar - 2017
Luați în considerare, în ℝ, ecuația (m+2) x2 - 2mx + (m - 1) = 0 în variabila x, unde m este un număr real altul decât - 2.
Examinați declarațiile de mai jos și evaluați-le ca V (TRUE) sau F (FALSE).
() Pentru toate m> 2 ecuația are un set de soluții goale.
() Există două valori reale ale lui m pentru ca ecuația să admită rădăcini egale.
() În ecuație, dacă ∆> 0, atunci m poate asuma doar valori pozitive.
Secvența corectă este
a) V - V - V
b) F - V - F
c) F - F - V
d) V - F - F
Să ne uităm la fiecare dintre afirmații:
Pentru toate m> 2 ecuația are un set de soluții goale
Deoarece ecuația este de gradul doi în ℝ, nu va avea o soluție atunci când delta este mai mică decât zero. Calculând această valoare, avem:
Deci prima afirmație este adevărată.
Există două valori reale ale lui m pentru ca ecuația să admită rădăcini egale.
Ecuația va avea rădăcini reale egale când Δ = 0, adică:
- 4m + 8 = 0
m = 2
Prin urmare, afirmația este falsă deoarece există o singură valoare a lui m unde rădăcinile sunt reale și egale.
În ecuație, dacă ∆> 0, atunci m poate lua doar valori pozitive.
Pentru Δ> 0, avem:
Deoarece există în mulțimea numerelor reale infinite numere negative mai mici de 2, afirmația este de asemenea falsă.
Alternativa d: V-F-F
2) Coltec - UFMG - 2017
Laura trebuie să rezolve o ecuație de gradul 2 în „casă”, dar își dă seama că, atunci când copiază de pe tablă pe caiet, a uitat să copieze coeficientul lui x. Pentru a rezolva ecuația, a înregistrat-o astfel: 4x2 + ax + 9 = 0. Din moment ce știa că ecuația are o singură soluție, iar aceasta este pozitivă, a fost capabilă să determine valoarea lui, care este
a) - 13
b) - 12
c) 12
d) 13
Când o ecuație de gradul 2 are o singură soluție, delta, din formula lui Bhaskara, este egală cu zero. Deci pentru a găsi valoarea , doar calculați delta, egalând valoarea sa la zero.
Deci, dacă a = 12 sau a = - 12, ecuația va avea o singură rădăcină. Cu toate acestea, trebuie încă să verificăm care dintre valorile rezultatul va fi o rădăcină pozitivă.
Pentru asta, să găsim rădăcina, pentru valorile lui .
Deci pentru a = -12 ecuația va avea o singură rădăcină și pozitivă.
Alternativa b: -12
3) Enem - 2016
Un tunel trebuie etanșat cu un capac de beton. Secțiunea transversală a tunelului și capacul de beton au contururile unui arc de parabolă și aceleași dimensiuni. Pentru a determina costul lucrării, un inginer trebuie să calculeze aria de sub arcul parabolic în cauză. Folosind axa orizontală la nivelul solului și axa de simetrie a parabolei ca axă verticală, el a obținut următoarea ecuație pentru parabolă:
y = 9 - x2, unde x și y sunt măsurate în metri.
Se știe că aria de sub o parabolă ca aceasta este egală cu 2/3 din aria dreptunghiului ale cărei dimensiuni sunt, respectiv, egale cu baza și înălțimea intrării în tunel.
Care este suprafața frontală a capacului de beton, în metri pătrați?
a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54
Pentru a rezolva această problemă, trebuie să găsim măsurătorile bazei și înălțimii intrării în tunel, precum problema ne spune că aria frontului este egală cu 2/3 din aria dreptunghiului cu aceste dimensiuni.
Aceste valori vor fi găsite din ecuația dată de gradul 2. Parabola acestei ecuații are concavitatea refuzată, deoarece coeficientul este negativ. Mai jos este o schiță a acestei parabole.
Din grafic, putem vedea că măsura bazei tunelului va fi găsită calculând rădăcinile ecuației. Deja înălțimea sa, va fi egală cu măsura vârfului.
Pentru a calcula rădăcinile, observăm că ecuația 9 - x2 este incomplet, deci îi putem găsi rădăcinile echivalând ecuația cu zero și izolând x:
Prin urmare, măsura bazei tunelului va fi egală cu 6 m, adică distanța dintre cele două rădăcini (-3 și 3).
Privind graficul, vedem că punctul de vârf corespunde valorii pe axa y, care x este egală cu zero, deci avem:
Acum, când cunoaștem măsurătorile bazei și înălțimii tunelului, putem calcula aria acestuia:
Alternativa c: 36
4) Cefet - RJ - 2014
Pentru ce valoare a „a” ecuația (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 are două rădăcini și egale?
la 1
b) 0
c) 1
d) 2
Pentru ca o ecuație de gradul 2 să aibă două rădăcini egale, este necesar ca Δ = 0, adică b2-4ac = 0. Înainte de a calcula delta, trebuie să scriem ecuația în forma ax2 + bx + c = 0.
Putem începe prin aplicarea proprietății distributive. Cu toate acestea, observăm că (x - 2) se repetă în ambii termeni, așa că să-l punem în evidență:
(x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(x - 2) (ax -2) = 0
Acum, distribuind produsul, avem:
topor2 - 2x - 2ax + 4 = 0
Calculând Δ și egal cu zero, găsim:
Deci, când a = 1, ecuația va avea două rădăcini egale.
Alternativa c: 1
Pentru a afla mai multe, consultați și:
- Ecuația de gradul II
- Ecuația de gradul I
- Funcția quadratică
- Funcția quadratică - Exerciții
- Funcție liniară
- Exerciții de funcții conexe