MMc și mdc reprezintă, respectiv, cel mai mic multiplu comun și cel mai mare divizor comun între două sau mai multe numere.
Nu ratați ocazia de a vă clarifica toate îndoielile prin exercițiile comentate și rezolvate pe care vi le prezentăm mai jos.
Exerciții propuse
Exercitiul 1
În raport cu numerele 12 și 18, determinați fără a lua în considerare 1.
a) Divizorii a 12.
b) Divizorii de 18.
c) Divizorii comuni ai 12 și 18.
d) Cel mai mare divizor comun al 12 și 18.
a) 2, 3, 4, 6 și 12.
b) 2, 3, 6, 9, 18.
c) 2, 3 și 6
d) 6
Exercițiul 2
Calculați MMC și MDC între 36 și 44.
Exercițiul 3
Luați în considerare un număr x, natural. Apoi clasificați afirmațiile drept adevărate sau false și justificați.
a) Cel mai mare divizor comun al lui 24 și x poate fi 7.
b) Cel mai mare divizor comun al lui 55 și 15 poate fi 5.
a) Nu, pentru că 7 nu este divizorul lui 24.
b) Da, deoarece 5 este un divizor comun între 55 și 15.
Exercițiul 4
Într-o prezentare pentru lansarea noii mașini de curse a echipei TodaMatéria, a avut loc o cursă neobișnuită. Au participat trei vehicule: mașina de lansare, mașina din sezonul trecut și o mașină obișnuită.
Circuitul este oval, cei trei au început împreună și au menținut viteze constante. Mașina de lansare durează 6 minute pentru a finaliza un tur. Mașina sezonului trecut durează 9 minute pentru a finaliza un tur, iar autoturismul durează 18 minute pentru a finaliza un tur.
După începerea cursei, cât vor dura să treacă împreună din nou același punct de plecare?
Pentru a determina este necesar să se calculeze mmc (6, 9, 18).
Așa că au trecut din nou prin același punct de plecare 18 minute mai târziu.
Exercițiul 5
Într-o confecție, există role de ochiuri de măsurare de 120, 180 și 240 de centimetri. Va trebui să tăiați țesătura în bucăți egale, cât mai mari posibil și nu mai rămâne nimic. Care va fi lungimea maximă a fiecărei benzi de plasă?
Pentru a determina, trebuie să calculăm mdc (120,180,240).
Cea mai lungă lungime posibilă, fără consolă, va fi de 60cm.
Exercițiul 6
Determinați MMC și MDC din următoarele numere.
a) 40 și 64
Răspuns corect: mmc = 320 și mdc = 8.
Pentru a găsi mmc și mdc, cea mai rapidă metodă este de a împărți numerele simultan cu primele cele mai mici posibile. Vezi mai jos.
Rețineți că mmc se calculează prin înmulțirea numerelor utilizate în factorizare și gcd se calculează prin înmulțirea numerelor care împart simultan cele două numere.
b) 80, 100 și 120
Răspuns corect: mmc = 1200 și mdc = 20.
Descompunerea simultană a celor trei numere ne va da mmc și mdc ale valorilor prezentate. Vezi mai jos.
Împărțirea cu numerele prime ne-a dat rezultatul mmc prin înmulțirea factorilor și mdc prin înmulțirea factorilor care împart cele trei numere simultan.
Exercițiul 7
Folosind factorizarea primă, determinați: care sunt cele două numere consecutive ale căror mmc este 1260?
a) 32 și 33
b) 33 și 34
c) 35 și 36
d) 37 și 38
Alternativă corectă: c) 35 și 36.
În primul rând, trebuie să factorizăm numărul 1260 și să determinăm factorii primi.
Înmulțind factorii, constatăm că numerele consecutive sunt 35 și 36.
Pentru dovadă, să calculăm mmc-ul celor două numere.
Exercițiul 8
Pentru a sărbători Ziua Studenților, va fi organizată o vânătoare de gheață cu elevi din trei clase de clasa a VI-a, a VII-a și a VIII-a. Vedeți mai jos numărul de elevi din fiecare clasă.
| Clasă | 6º | 7º | 8º |
| Numarul studentilor | 18 | 24 | 36 |
Determinați prin MDC numărul maxim de elevi din fiecare clasă care pot participa la competiție ca parte a unei echipe.
După aceea, răspundeți: câte echipe pot fi formate din clasele a 6-a, a 7-a și respectiv a 8-a, cu numărul maxim de participanți pe echipă?
a) 3, 4 și 5
b) 4, 5 și 6
c) 2, 3 și 4
d) 3, 4 și 6
Alternativă corectă: d) 3, 4 și 6.
Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să începem prin descompunerea valorilor date în numere prime.
Prin urmare, am găsit numărul maxim de elevi pe echipă și, în acest fel, fiecare clasă va avea:
Anul 6: 18/6 = 3 echipe
Anul 7: 24/6 = 4 echipe
Anul 8: 36/6 = 6 echipe
Examenele de intrare rezolvate
intrebarea 1
(Apprentice Sailor - 2016) Fie A = 120, B = 160, x = mmc (A, B) și y = mdc (A, B), atunci valoarea lui x + y este egală cu:
a) 460
b) 480
c) 500
d) 520
e) 540
Alternativă corectă: d) 520.
Pentru a găsi valoarea sumei lui x și y, trebuie mai întâi să găsiți aceste valori.
În acest fel, vom descompune numerele în factori primi și apoi vom calcula mmc și mdc între numerele date.
Acum, că știm valoarea lui x (mmc) și y (mdc), putem găsi suma:
x + y = 480 + 40 = 520
Alternativă: d) 520
intrebarea 2
(Unicamp - 2015) Tabelul de mai jos prezintă câteva valori nutriționale pentru aceeași cantitate de două alimente, A și B.
Luați în considerare două porțiuni izocalorice (de aceeași valoare energetică) ale alimentelor A și B. Raportul dintre cantitatea de proteine din A și cantitatea de proteine din B este egal cu
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
Alternativă corectă: c) 8.
Pentru a găsi porțiuni izocalorice ale alimentelor A și B, să calculăm mmc între valorile energetice respective.
Deci, trebuie să luăm în considerare cantitatea necesară din fiecare aliment pentru a obține valoarea calorică.
Având în vedere alimentele A, pentru a avea o valoare calorică de 240 Kcal, este necesar să înmulțim caloriile inițiale cu 4 (60. 4 = 240). Pentru hrana B, este necesar să se înmulțească cu 3 (80. 3 = 240).
Astfel, cantitatea de proteine din alimentele A va fi înmulțită cu 4 și cea din alimentele B cu 3:
Mâncare A: 6. 4 = 24 g
Mâncare B: 1. 3 = 3 g
Astfel, avem că raportul dintre aceste cantități va fi dat de:
Alternativă: c) 8
întrebarea 3
(UERJ - 2015) În tabelul de mai jos sunt indicate trei posibilități pentru a aranja n caiete în pachete:
Dacă n este mai mic de 1200, suma cifrelor cu cea mai mare valoare a lui n este:
a) 12
b) 17
c) 21
d) 26
Alternativă corectă: b) 17.
Având în vedere valorile raportate în tabel, avem următoarele relații:
n = 12. x + 11
n = 20. y + 19
n = 18. z + 17
Rețineți că, dacă am adăuga o carte la valoarea lui n, nu am mai avea un rest în cele trei situații, deoarece am forma un alt pachet:
n + 1 = 12. x + 12
n + 1 = 20. x + 20
n + 1 = 18. x + 18
Astfel, n + 1 este un multiplu comun de 12, 18 și 20, deci dacă găsim mmc (care este cel mai mic multiplu comun), putem, de acolo, să găsim valoarea lui n + 1.
Calculul mmc:
Deci cea mai mică valoare a n + 1 va fi 180. Cu toate acestea, dorim să găsim cea mai mare valoare de n mai mică de 1200. Deci, să căutăm un multiplu care să îndeplinească aceste condiții.
Pentru aceasta, să înmulțim 180 până când găsim valoarea dorită:
180. 2 = 360
180. 3 = 540
180. 4 = 720
180. 5 = 900
180. 6 = 1 080
180. 7 = 1 260 (această valoare este mai mare de 1 200)
Deci putem calcula valoarea lui n:
n + 1 = 1 080
n = 1080 - 1
n = 1079
Suma cifrelor sale va fi dată de:
1 + 0 + 7 + 9 = 17
Alternativă: b) 17
Vezi și tu: MMC și MDC
întrebarea 4
(Enem - 2015) Un arhitect renovează o casă. Pentru a contribui la mediu, decide să refolosească scândurile de lemn luate din casă. Are 40 de plăci care măsoară 540 cm, 30 cu 810 cm și 10 cu 1080 cm, toate de aceeași lățime și grosime. El a rugat un tâmplar să taie scândurile în bucăți de lungime egală, fără să plece resturi, și astfel încât noile piese să fie cât mai mari, dar mai scurte ca lungime că 2 m.
Ca răspuns la cererea arhitectului, tâmplarul trebuie să producă
a) 105 bucăți.
b) 120 de bucăți.
c) 210 bucăți.
d) 243 bucăți.
e) 420 bucăți.
Alternativă corectă: e) 420 de bucăți.
Deoarece piesele sunt rugate să aibă aceeași lungime și cât mai mare posibil, vom calcula mdc (divizorul comun maxim).
Să calculăm mdc între 540, 810 și 1080:
Cu toate acestea, valoarea găsită nu poate fi utilizată, deoarece există o restricție asupra lungimii fiind mai mică de 2 m.
Deci, să împărțim 2.7 la 2, deoarece valoarea găsită va fi, de asemenea, un divizor comun al 540, 810 și 1080, deoarece 2 este cel mai mic factor prim comun al acestor numere.
Apoi, lungimea fiecărei piese va fi egală cu 1,35 m (2,7: 2). Acum trebuie să calculăm câte piese vom avea din fiecare tablă. Pentru aceasta, vom face:
5.40: 1.35 = 4 bucăți
8.10: 1.35 = 6 bucăți
10.80: 1.35 = 8 bucăți
Având în vedere cantitatea fiecărei plăci și însumând, avem:
40. 4 + 30. 6 + 10. 8 = 160 + 180 + 80 = 420 bucăți
Alternativă: e) 420 de bucăți
întrebarea 5
(Enem - 2015) Managerul unui cinematograf oferă anual bilete gratuite școlilor. Anul acesta vor fi distribuite 400 de bilete pentru o sesiune de după-amiază și 320 de bilete pentru o sesiune de seară a aceluiași film. Mai multe școli pot fi alese pentru a primi bilete. Există câteva criterii pentru distribuirea biletelor:
- fiecare școală trebuie să primească bilete pentru o singură sesiune;
- toate școlile eligibile trebuie să primească același număr de bilete;
- nu vor rămâne bilete rămase (adică toate biletele vor fi distribuite).
Numărul minim de școli care pot fi alese pentru a obține bilete, conform criteriilor stabilite, este
a) 2.
b) 4.
c) 9.
d) 40.
e) 80.
Alternativă corectă: c) 9.
Pentru a afla numărul minim de școli, trebuie să cunoaștem numărul maxim de bilete pe care le poate primi fiecare școală, având în vedere că acest număr trebuie să fie egal în ambele sesiuni.
În acest fel, vom calcula mdc între 400 și 320:
Valoarea mdc găsită reprezintă cel mai mare număr de bilete pe care le va primi fiecare școală, astfel încât să nu existe resturi.
Pentru a calcula numărul minim de școli care pot fi alese, trebuie să împărțim și numărul de bilete pentru fiecare sesiune la numărul de bilete pe care le va primi fiecare școală, așa că avem:
400: 80 = 5
320: 80 = 4
Prin urmare, numărul minim de școli va fi egal cu 9 (5 + 4).
Alternativă: c) 9.
întrebarea 6
(Cefet / RJ - 2012) Care este valoarea expresiei numerice ?
a) 0,2222
b) 0,2323
c) 0,2332
d) 0,3222
Alternativă corectă: a) 0,2222
Pentru a găsi valoarea expresiei numerice, primul pas este calcularea mmc dintre numitori. Prin urmare:
Mmc găsit va fi noul numitor al fracțiilor.
Cu toate acestea, pentru a nu modifica valoarea fracției, trebuie să înmulțim valoarea fiecărui numărător cu rezultatul împărțirii mmc la fiecare numitor:
Rezolvând adunarea și împărțirea, avem:
Alternativă: a) 0,2222
întrebarea 7
(EPCAR - 2010) Un fermier va planta fasole într-un pat drept. Pentru aceasta, a început să marcheze locurile unde avea să planteze semințele. Figura de mai jos indică punctele deja marcate de fermier și distanțele, în cm, între ele.
Acest fermier a marcat apoi alte puncte dintre cele existente, astfel încât distanța d printre toți era același și cel mai mare posibil. dacă X reprezintă de câte ori distanța d a fost obținut de către fermier, deci X este un număr divizibil cu
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Alternativă corectă: d) 7.
Pentru a rezolva întrebarea, trebuie să găsim un număr care împarte numerele prezentate în același timp. Deoarece se cere distanța să fie cât mai departe posibil, vom calcula mdc între ele.
În acest fel, distanța dintre fiecare punct va fi egală cu 5 cm.
Pentru a găsi de câte ori s-a repetat această distanță, să împărțim fiecare segment original la 5 și să adăugăm valorile găsite:
15: 5 = 3
70: 5 = 14
150: 5 = 30
500: 5 = 100
x = 3 + 14 + 30 + 100 = 147
Numărul găsit este divizibil cu 7, deoarece 21,7 = 147
Alternativă: d) 7
Vezi și tu: Multipli și divizori
