Am stabilit un ocupaţie când raportăm una sau mai multe cantități. O parte din fenomenele naturale pot fi studiate datorită dezvoltării în acest domeniu al matematicii. Studiul funcțiilor este împărțit în două părți, avem partea generală, în care studiem conceptegeneral, și partea specifică, în care studiem cazuri particulare, cum ar fi funcțiile polinomiale și funcțiile exponențiale.
Vezi și: Cum să graficezi o funcție?
Ce sunt funcțiile?
O funcție este o aplicație care relatează elementele a două seturi nu gol. Luați în considerare două mulțimi ne-goale A și B, unde o funcție f raporta fiecare element de la A la unul singur element al lui B.
Pentru a înțelege mai bine această definiție, imaginați-vă o plimbare cu taxiul. Pentru fiecare călătorie, adică pentru fiecare distanță parcursă, există un preț diferit și unic, adică nu are sens ca o călătorie să aibă două prețuri diferite.
Putem reprezenta această funcție care ia elemente din setul A în setul B în următoarele moduri.
Rețineți că pentru fiecare element al mulțimii A există un
element unic înrudit cu el în setul B. Acum ne putem gândi, la urma urmei, când o relație între două seturi nu va fi o funcție? Ei bine, atunci când un element al mulțimii A este legat de două elemente distincte ale lui B sau când există elemente ale mulțimii A care nu au legătură cu elementele lui B. Uite:
În general vorbind, putem scrie o funcție algebrică astfel:
f: A → B
x → y
Rețineți că funcția preia elemente din mulțimea A (reprezentată prin x) și le duce la elemente din B (reprezentate prin y). De asemenea, putem spune că elementele mulțimii B sunt date în termeni de elemente ale mulțimii A, deci putem reprezenta y prin:
y = f(X)
Se citește: (y este egal cu f de x)
Domeniul, co-domeniul și imaginea unui rol
Când avem un rol f, mulțimile înrudite primesc nume speciale. Deci, ia în considerare o funcție f care ia elemente din mulțimea A în elemente din mulțimea B:
f: A → B
Mulțimea A, din care pleacă relațiile, se numește domeniu funcției și se numește mulțimea care primește „săgețile” acestei relații contra-domeniu. Notăm aceste seturi după cum urmează:
Df = A → Domeniul de f
CDf = B → Controdominiul f
Se numește subsetul contradomeniului unei funcții format din elemente care se referă la elemente ale mulțimii Imagine funcției și se notează prin:
Suntf → Imagine de f
- Exemplu
Luați în considerare funcția f: A → B reprezentată în diagrama de mai jos și determinați domeniul, contradomeniul și imaginea.
După cum sa spus, setul A = {1, 2, 3, 4} este domeniul funcției f, în timp ce mulțimea B = {0, 2, 3, –1} este controdominiul aceleiași funcții. Acum, observați că mulțimea formată din elemente care primesc săgeata (în portocaliu) formată din elementele {0, 2, –1} este un subset al contradomeniului B, acest set este imaginea funcției f, prin urmare:
Df = A = {1, 2, 3, 4}
CDf = B = {0, 2, 3, -1}
Suntf = {0, 2, –1}
Spunem că 0 este imaginea elementului 1 a domeniului, precum și 2 este imaginea elementelor 2 și 3 a domeniului și –1 este imaginea elementului 4 a domeniului. Pentru a afla mai multe despre aceste trei concepte, citiți: Ddomeniu, co-domeniu și imagine.
Funcția surjectivă
O functie f: A → B va fi surjectiv sau surjectiv dacă, și numai dacă, setul de imagini coincide cu contradominiul, adică dacă toate elementele contradomainului sunt imagini.
Spunem atunci că o funcție este surjectivă atunci când toate elementele contradomeniului primesc săgeți. Dacă doriți să aprofundați acest tip de funcție, vizitați textul nostru: Funcția Overjet.
Funcția injectivă
O functie f: A → B va fi injectiv sau injectiv dacă și numai dacă elemente distincte ale domeniului au imagini distincte în controdomeniu, adică imaginile similare sunt generate de elemente similare ale domeniului.
Rețineți că condiția este că diferite elemente ale domeniului se referă la diferite elemente ale controdominiului, nefiind nicio problemă cu elementele rămase în controdomeniu. Pentru a înțelege mai bine acest concept, puteți citi textul: Funcția injector.
Funcția bijector
O functie f: A → B va fi bijectiv dacă și numai dacă este injector și surjector simultan, adică elementele distincte ale domeniului au imagini distincte, iar imaginea coincide cu controdomeniul.
- Exemplu
În fiecare caz, justificați dacă funcția f (x) = x2 este injector, surjector sau bijector.
) f: ℝ+ → ℝ
Rețineți că domeniul funcției este realuri pozitive, iar contradomeniul este numerele reale. Știm că funcția f este dată de f (x) = x2, acum imaginează-ți toate numerele reale pozitive înalt la pătrat, toate imaginile vor fi, de asemenea, pozitive. Deci putem concluziona că funcția este injectantă și nu surjectivă, deoarece numerele reale negative nu vor primi săgeți.
Se injectează, ca fiecare element al domeniului (ℝ+) se referă doar la un element al controdomeniului (ℝ).
B) f: ℝ → ℝ+
Funcția, în acest caz, are domeniul ca toate realele și contradomeniul ca reale pozitive. Știm că orice număr real pătrat este pozitiv, deci toate elementele controdominiului au primit săgeți, deci funcția este surjectivă. Nu va fi injectat deoarece elementele de domeniu se referă la două elemente de contra-domeniu, de exemplu:
f(–2) = (–2)2 = 4
f(2) = (2)2 = 4
ç) f:ℝ+ → ℝ+
În acest exemplu, funcția are domeniu și contradomeniu ca numere reale pozitive, deci funcția este bijector, deoarece fiecare număr real pozitiv se referă la un singur numar real al controdomeniului, în acest caz pătratul numărului. În plus, toate numerele de domeniu au primit săgeți.
funcție compozită
THE funcție compozită este asociat cu idee de scurtătură. Luați în considerare trei seturi ne-goale A, B și C. Luați în considerare și două funcții f și g, unde funcția f ia elementele x din mulțimea A la elementele y = f (x) din mulțimea B, iar funcția g ia elementele y = f (x) la elementele z din mulțimea C.
Funcția compusă primește acest nume deoarece este o aplicație care ia elemente din setul A direct în elemente din setul C, fără a trece prin setul B, prin compoziția funcțiilor f și g. Uite:
Funcția notată cu (f o g) ia elementele din mulțimea A direct în mulțimea C. Se numește funcție compusă.
- Exemplu
Luați în considerare funcția f (x) = x2 și funcția g (x) = x + 1. Găsiți funcțiile compozite (f o g) (x) și (g o f) (x).
Funcția f o g este dată de funcția g aplicată lui f, adică:
(f o g) (x) = f (g (x))
Pentru a determina această funcție compusă, trebuie să luăm în considerare funcția f, și, în locul variabilei x, trebuie să scriem funcția g. Uite:
X2
(x + 1)2
(f o g) (x) = f (g (x)) = x2 + 2x + 1
În mod similar, pentru a determina funcția compusă (g o f) (x), trebuie să aplicăm funcția f în rol g, adică, ia în considerare funcția g și scrie funcția f în locul variabilei. Uite:
(x + 1)
X2 + 1
Prin urmare, funcția compusă (g o f) (x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Funcția chiar
Luați în considerare o funcție f: A → ℝ, unde A este un subset al realelor ne-goale. O funcție f va fi egală numai pentru toate x-urile reale.
Exemplu
Luați în considerare funcția f: ℝ → ℝ, dat de f (x) = x2.
Rețineți că pentru orice valoare reală x, dacă este pătrat, rezultatul este întotdeauna pozitiv, adică:
f (x) = x2
și
f (–x) = (–x)2 = x2
Deci f (x) = f (–x) pentru orice valoare x reală, deci funcția f este pereche.
Citește și:Proprietăți de puteres - ce sunt și cum la utilizareaer?
funcție unică
Luați în considerare o funcție f: A → ℝ, unde A este un subset al realelor ne-goale. O funcție f va fi ciudată numai pentru toate x-urile reale.
- Exemplu
Luați în considerare funcția f: ℝ → ℝ, dat de f (x) = x3.
Vedeți că pentru orice valoare a lui x putem scrie că (–x)3 = -x3. Consultați câteva exemple:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Deci putem spune că:
f (–x) = (–x)3 = –X3
f (–x) = (–x)3 = –f (x)
Deci, pentru orice real x f (–x) = –f (x), deci funcția f (x) = x3 este unic.
funcție crescătoare
O functie f é creştere la un interval dacă și numai dacă, pe măsură ce elementele domeniului cresc, imaginile lor cresc. Uite:
Rețineți că x1 > x2 și același lucru se întâmplă cu imaginea, astfel încât să putem stabili o condiție algebrică pentru funcție f fi creştere.
Funcția descendentă
O functie f é in scadere la un interval dacă și numai dacă, pe măsură ce elementele de domeniu cresc, imaginile lor scad. Uite:
Vedeți că, în domeniul funcției, avem acel x1 > x2, totuși acest lucru nu apare în imaginea funcției, unde f (x1)
funcție constantă
După cum spune numele, a funcția este constant când, pentru orice valoare domeniu, valoarea imaginii este întotdeauna aceeași.
funcție conexă
THE funcție afină sau polinom de gradul I este scris sub forma:
f (x) = ax + b
Unde a și b sunt numere reale, a este diferită de zero, iar graficul dvs. este o linie. Funcția are domeniu real și, de asemenea, contradomeniu real.
funcția pătratică
THE funcția pătratică sau funcția polinomială de gradul al doilea este dată de A polinom de gradul doi, prin urmare:
f (x) = topor2 + bx + c
Unde a, b și c sunt numere reale cu un zero, iar graficul dvs. este a parabolă. Rolul are, de asemenea, un domeniu real și un contor.
funcție modulară
THE funcție modulară cu variabila x găsește-dacă în interiorul modulului și algebric se exprimă prin:
f (x) = | x |
Funcția are și domeniu real și contor, adică putem calcula valoarea absolută a oricărui număr real.
functie exponentiala
THE functie exponentialaafișează variabila x în exponent. Are, de asemenea, domeniu real și contradomeniu real și este descris algebric prin:
f (x) = aX
Unde a este un număr real mai mare decât zero.
funcția logaritmică
THE funcția logaritmică are variabilă în logaritm iar domeniul format din numere reale mai mari decât zero.
Funcții trigonometrice
La funcții trigonometrice au variabila x implicând rapoarte trigonometrice, principalele sunt:
f (x) = sin (x)
f (x) = cos (x)
f (x) = tg (x)
funcția rădăcină
Funcția rădăcină se caracterizează prin faptul că are variabilă în interiorul rădăcinii, cu aceasta, dacă indicele rădăcinii este egal, domeniul funcției devine doar numerele reale pozitive.
de Robson Luiz
Profesor de matematică
