Suma termenilor unui progresie aritmetică (PA) poate fi obținut prin următoarele formulă:
În această formulă, SNu reprezintă suma termenilor, A1 este primultermen siNu este ultimultermen din BP în cauză, n este numărul de termeni care va fiadăugate împreună. Pentru a adăuga termenii unei progresii aritmetice, pur și simplu înlocuiți valorile din această formulă.
Exemple de însumare de termeni într-un PA
Mai jos sunt două exemple de cum să formulă prezentate mai sus pot fi folosite pentru a obține sumăDintermeni de o TIGAIE.
→ Exemplul 1
Determinați sumăDintermeni dintre următoarele PA: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40).
Pentru a utiliza formula dată, rețineți că:
1 = 2
Nu = 40
n = 20
Aceste ultime date (numărul de termeni) au fost obținute prin numărarea termeni al PA. Aplicând aceste date în formulă, vom avea:
Asa ca sumăDintermeni din acest PA este 420.
Rețineți că această formulă este valabilă numai pentru progresii aritmetice care au o număr finit de termeni. Dacă PA este infinit, va fi necesar să se limiteze numărul de termeni care vor fi adăugați. Când se întâmplă acest lucru, poate fi necesar să utilizați alte cunoștințe despre AP pentru a obține ultimul termen care trebuie adăugat.
Vezi mai jos un exemplu de însumare a termenilor unui PA infinit:
→ Exemplul 2
Determinați suma primilor 50 de termeni din următorul BP: (5, 10, 15, ...).
Rețineți că acest lucru TIGAIEeste infinit, acest lucru este dovedit de elipse. Primul termen este 5, la fel ca și raportul TA, ca 10 - 5 = 5. De vreme ce dorim să găsim suma primilor 50 de termeni, cel de-al 50-lea termen va fi reprezentat de a50. Pentru a afla valoarea acestuia, putem folosi formula lui termenul general al AP:
În această formulă, r este raportul BP. Înlocuirea valorilor date în enunțul din aceasta formulă, noi vom avea:
Știind că al 50-lea termen este 250, putem folosi formula lui sumăDintermeni pentru a obține suma primilor 50 de termeni (S50) din acest PA:
Gauss și suma termenilor unui PA
Se spune că matematicianul german Gauss a fost primul care a folosit o metodă alternativă la adăugatermeni de o TIGAIE, fără a fi nevoie să adăugați termen cu termen. Mai târziu, ideea sa de simplificare a pașilor s-a dovedit a fi formula folosită pentru a găsi suma.
Povestea spune că, în copilărie, Gauss a avut un profesor care a pedepsit întreaga clasă: adunând toate numerele de la 1 la 100.
Gauss a realizat că adăugarea primului număr la ultimul, al doilea la al doilea până la ultimul și așa mai departe a dat același rezultat:
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
…
Cea mai mare sarcină a sa a fost să observe că, pe măsură ce adăuga două numere, va găsi 50 de rezultate egale cu 101, adică sumă din toate numerele de la 1 la 100 ar putea fi găsite făcând 50 .101 = 5050.
Rezultatul obținut de Gauss poate fi verificat prin formulă a sumei termenilor unui AP. Ceas:
